[Risolto] Equazioni algebriche di secondo grado frazionare

Devi osservare che numeratore e denominatore si annullano ognuno di essi per x=-1. Quindi utilizza il teorema di Ruffini dividendo numeratore e denominatore per (x+1).

Se fai la divisione con Ruffini:

(3x^2-2x-5) : (x+1) ottieni:

Q(x)=3x-5 ; R=0

analogamente:

(2x^2+3x+1) : (x+1) = (2x+1)

si tratta quindi di porre x diverso da -1

Scomponiamo in modo elementare i due termini

3x^2 - 2x - 5 = 3x^2 + 3x - 5x - 5 =

= 3x (x + 1) - 5' (x + 1) = (x+1)(3x-5)

2x^2 + 3 x + 1 = 2x^2 + 2x + x + 1 =

= 2x(x +1) + (x + 1) = (x +1)(2x +1)

Le condizioni di esistenza sono

x =/=-1 e x =/=-1/2 (fattori del denominatore

diversi da zero) 

Dividendo per x+1 entrambi i termini ne 

risulta la forma minima irriducibile 

(3x-5)/(2x+1).

Ma, santo cielo!, nei 507 giorni da quando ti sei iscritto non hai ancora imparato a chiamare le espressioni col loro nome ("funzione razionale fratta" al singolare, non "Equazioni algebriche di secondo grado frazionare" al plurale) e a scriverle con una qualsiasi ragionevole sintassi.
Secondo le normali regole e convenzioni algebriche [che impongono di porre parentesi (tutte tonde) intorno agli argomenti delle funzioni (comprese le frazioni) quando si scrivono le espressioni in linea con normali caratteri dattilografici] la tua scrittura va rifatta.
Le espressioni algebriche non sono né disegnini né descrizioni verbali, e per scriverle in linea con un editor di testo ci sono convenzioni che risalgono al 1958.
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Il primo passaggio è il riscrivere l'espressione.
Si devono mettere TUTTI gli operatori e le parentesi, se no si dà luogo ad equivoci di lettura e possibili risposte sprecate.
La stringa di caratteri che tu hai scritto
* "3x^2 - 2x - 5/2x^2 + 3x + 1"
ha un solo significato come espressione algebrica, ma non quello che "la seguente frazione algebrica" lascia intendere
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify+3x%5E2-2x-5%2F2x%5E2%2B3x%2B1
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Prima di parlare del tuo esercizio, ti suggerisco qualche dritta sintattica per scrivere in linea le tue future espressioni:
* parentesi tonde ovunque;
* il prodotto esplicito con un normale asterisco "*" per moltiplicare: A*B;
* "/" per dividere e per frazione: frazioni e divisioni con (tutta il numeratore)/(tutto il denominatore);
* le potenze con (tutta la base)^(tutto l'esponente);
* notazione funzionale quando mancano segni speciali: √(radicando) o sqrt(radicando); ∫ f(x)*dx o integrale(f(x)*dx); etc.
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ESERCIZIO
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«Semplificare la seguente frazione algebrica
* f(x) = N(x)/D(x) = (3*x^2 - 2*x - 5)/(2*x^2 + 3*x + 1)
specificando per quali valori di x la semplificazione è valida
»
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La funzione f(x) è definita se e solo se il denominatore non sia zero e, poiché
* 2*x^2 + 3*x + 1 = 2*(x + 1/2)*(x + 1)
ciò vuol dire che ogni operazione dev'essere condizionata da
* (x != - 1/2) & (x != - 1)
ed è valida se e solo se soddisfà alla condizione.
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Semplificare una frazione vuol dire dividere numeratore e denominatore per il loro Massimo Comun Divisore: il MCD(N, D) si calcola con l'algoritmo di Euclide, per successive divisioni.
* (3*x^2 - 2*x - 5) = (3/2)*(2*x^2 + 3*x + 1) + (- 13/2)*(x + 1)
* (2*x^2 + 3*x + 1) = (- (4/13)*(x + 1/2))*(- 13/2)*(x + 1) + 0
il resto zero indica che l'ultimo divisore, (- 13/2)*(x + 1), è il MCD(N, D); quindi
* (3*x^2 - 2*x - 5)/((- 13/2)*(x + 1)) = (- 2/13)*(3*x - 5)
* (2*x^2 + 3*x + 1)/((- 13/2)*(x + 1)) = (- 2/13)*(2*x + 1)
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RISULTATO
* ((3*x^2 - 2*x - 5)/(2*x^2 + 3*x + 1) = (3*x - 5)/(2*x + 1)) & (x != - 1/2) & (x != - 1)