Equazione goniometrica

Ciao di nuovo.

Analizziamo l'equazione in particolare le radici quadrate per cui si deve avere:

{4·COS(x) + 6 ≥ 0 (sempre verificata perché  ≥ 2)

{COS(x) > 0 (perché anche a denominatore di frazione)

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Quindi l'equazione:

(COS(x) + 2)/√(COS(x)) - √(COS(x)) = √(4·COS(x) + 6)

dovrà essere verificata sostanzialmente da valori x del 1° e del 4° quadrante.

Poniamo:

{√(COS(x)) = t

{COS(x) = t^2

Quindi:

(t^2 + 2)/t - t = √(4·t^2 + 6)

2/t = √(4·t^2 + 6) eleviamo al quadrato

4/t^2 = 2·(2·t^2 + 3) *t^2

4 = 2·t^2·(2·t^2 + 3)

2·t^4 + 3·t^2 - 2 = 0

risolvo: t = - √2/2 ∨ t = √2/2 (+2 radici complesse)

Quindi t = √2/2-------> COS(x) = (√2/2)^2------> COS(x) = 1/2

Quindi: x = 5·pi/3+2k*pi  ∨ x = pi/3+2k*pi

 

L'equazione
* (cos(x) + 2)/√(cos(x)) - √(cos(x)) = √(4*cos(x) + 6)
definita per cos(x) != 0 e definita reale per
* (cos(x) > 0) & (4*cos(x) + 6 > 0) ≡ cos(x) > 0 ≡
≡ 2*k*π - π/2 < x < 2*k*π + π/2
ha le radici che si calcolano ponendo
* cos(x) = u^2 > 0
da cui
* (cos(x) + 2)/√(cos(x)) - √(cos(x)) = √(4*cos(x) + 6) ≡
≡ (u^2 + 2)/u - u = 2/u = √(4*u^2 + 6) ≡
≡ u = 1/√2 ≡
≡ cos(x) = 1/2 ≡
≡ x = 2*k*π ± π/3