[Risolto] Trova le coordinate di A e di B

@franco_bello

Ciao e benvenuto.

x^2 + y^2 - 4x - 6y + 3 = 0

equazione circonferenza nella forma implicita. Si deducono da essa le coordinate del centro:

C(2,3) ed il suo raggio r=√(2^2 + 3^2 - 3) = √10 cm

Equazione cartesiana: (x-2)^2+(y-3)^2=10

Calcolo retta CM

(2,3)

(1,4)

(y - 3)/(x - 2) = (4 - 3)/(1 - 2)  -----> y = 5 - x

Calcolo retta AB: m=1 (reciproco del precedente con segno opposto)

M(1,4)------->y - 4 = 1·(x - 1)-------> y = x + 3

Metto a sistema:

{y = x + 3

{x^2 + y^2 - 4x - 6y + 3 = 0

Procedo con sostituzione:

x^2 + (x + 3)^2 - 4·x - 6·(x + 3) + 3 = 0

x^2 + (x^2 + 6·x + 9) - 4·x - (6·x + 18) + 3 = 0

2·x^2 - 4·x - 6 = 0------> 2·(x + 1)·(x - 3) = 0-----> x = 3 ∨ x = -1

x = -1: y=2------->  A(-1,2)

x = 3 :  y=6------> B(3,6)

Ti indico il procedimento da seguire :

1] Determini il centro della circonferenza C = (-a/2; -b/2) ;

2] La retta AB é la perpendicolare a CM passante per M ;

trovi il coefficiente angolare come antireciproco di quello di CM

e quindi ne scrivi l'equazione esplicita

3] A e B sono le intersezioni fra la retta trovata e la circonferenza.

Operativamente

1] C = (4/2; 6/2) = (2;3)

2] essendo M = (1;4)

mCM = (3-4)/(2-1) = -1

La perpendicolare a CM per M ha equazione  y - 4 = 1*(x - 1) => y = x + 3

3] sostituendo y = x + 3 nell'equazione della circonferenza

x^2 + (x + 3)^2 - 4x - 6(x + 3) + 3 = 0

x^2 + x^2 + 6x + 9 - 4x - 6x - 18 + 3 = 0

2x^2 - 4x - 6 = 0

x^2 - 2x - 3 = 0

x^2 - 3x + x - 3 = 0

x(x - 3) + (x - 3) = 0

(x - 3) (x + 1) = 0

xA = -1 => yA = - 1 + 3 = 2

xB = 3 => yB = 3 + 3 = 6

A = (-1;2)

B = (3;6)

La generica circonferenza centrata in M
* (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = q
interseca Γ nelle soluzioni (A, B) del sistema
* ((x - 1)^2 + (y - 4)^2 = q) & ((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 10) ≡
≡ (A((q - 4 - √Δ)/4, (24 - q - √Δ)/4) oppure B((q - 4 + √Δ)/4, (24 - q + √Δ)/4)) & (Δ = - q^2 + 24*q - 64)
che, per soddisfare al vincolo, devono
* essere reali e distinte (Δ > 0)
* avere M per punto medio della congiungente AB (y = x + (7 - q/2)), cioè
** M((q - 4)/4, 6 - q/4)
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La identificazione di M
* ((q - 4)/4 = 1) & (6 - q/4 = 4) ≡ q = 8
dà luogo a
* √Δ = √(- 8^2 + 24*8 - 64) = 8
* A(- 1, 2)
* B(3, 6)