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[Risolto] Equazione delle parabola  

  

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Determinare 'equazione della parabola, con asse parallelo a quello delle ascisse, che ha vertice nel punto $V(1,2)$ ed è tangente alla retta parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante di ordinata all'origine 5.

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Scriviamo per prima cosa l'equazione della retta a cui la parabola deve essere tangente: in essa deve essere $m=1$ e $q=5,$ quindi la sua equazione è $y=x+5$
La parabola da determinare, essendo noto il vertice, ha equazione: $x-1=a(y-2)^{2}$
Per determinare il coefficiente $a$, impostiamo il sistema formato dalle equazioni delle due curve

\[
\left\{\begin{array}{l}
x-1=a(y-2)^{2} \\
y=x+5
\end{array}\right.
\]
\[
a x^{2}+(6 a-1) x+9 a+1=0
\]
condizione di tangenza è $(6 a-1)^{2}-4 a(9 a+1)=0$
\[
a=\frac{1}{16}
\]

L'equazione della parabola è:

$x-1=\frac{1}{16}(y-2)^{2} \quad$

cioè:

$\quad x=\frac{1}{16} y^{2}-\frac{1}{4} y+\frac{5}{4}$

Schermata 2020 06 10 alle 15.54.16
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Immagine
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La "retta parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante di ordinata all'origine 5" cioè
* "parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante" ≡ di pendenza m = 1
* "di ordinata all'origine 5" ≡ di intercetta q = 5
risulta
* t ≡ y = m*x + q ≡ y = x + 5 ≡ x = y - 5
---------------
Ogni parabola con
* asse parallelo a quello delle ascisse
* apertura "a != 0"
* vertice V(w, h)
ha equazione
* Γ(a, w, h) ≡ x = a*(y - h)^2 + w
---------------
Con
* V(1, 2)
si ha
* Γ(a) ≡ x = a*(y - 2)^2 + 1
---------------
Per la condizione di tangenza si deve avere contatto reale doppio fra Γ(a) e t.
Sistema
* t & Γ(a) ≡ (y = x + 5) & (x = a*(y - 2)^2 + 1) ≡
≡ (y = x + 5) & (x = a*(x + 5 - 2)^2 + 1)
Risolvente
* a*(x + 5 - 2)^2 + 1 - x = 0 ≡
≡ a*x^2 + (6*a - 1)*x + 9*a + 1 = 0
Discriminante
* Δ(a) = 1 - 16*a
che s'azzera per
* a = 1/16
da cui
* Γ(a) ≡ x = (y - 2)^2/16 + 1
---------------
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3Dx%2B5%2Cx%3D%28y-2%29%5E2%2F16%2B1%5D

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