Chi mi può aiutare?

$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$ si può riscrivere come 

$f(x)=(x-1)^3$

che ha uno zero TRIPLO in $x=1$, che quindi risulta un flesso a tangente orizzontale.

lo si può provare derivando la funzione due volte:

$f'(x)=3(x-1)^2$

$f"(x)=6(x-1)$ la quale chiaramente si annulla in $x=1$, esattamente dove si annulla anche la derivata prima, quindi il punto $F(1,0)$ è un punto di flesso a tangente orizzontale.

Una retta che forma un angolo pari a $\frac{\pi}{4}$ radianti con la direzione positiva dell'asse $x$ ha coefficiente angolare $m=1$

quindi è del tipo $y=x+q$

dovendo poi passare per $F(1,0)$ si ha

$0=1+q$ cioè $q=-1$ e quindi la retta cercata ha equazione:

$y=x-1$

quindi per trovare gli ulteriori due punti di intersezione con la cubica:

$x-1=(x-1)^3$ ovvero $(x-1)^2=1$ le cui soluzioni sono ovviamente $x_1=0$ e $x_2=2$.

Quindi $A(0,-1)$ e $B(2,1)$

Domanda a) 

calcoliamo il punto medio M del segmento $AB$:

$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{0+2}{2}=1$

$y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-1+1}{2}=0$

quindi $M(1,0)$ coincide con $F$. c.v.d

il fascio di rette passante per $F$ ha equazione:

$y=m(x-1)$ ricordiamoci che dobbiamo considerare solo quelle con $m>0$.

intersechiamo queste rette con la cubica:

$m(x-1)=(x-1)^3$ cioè $(x-1)^2=m$ le cui soluzioni sono:

$x_1=1+\sqrt{m}$ 

$x_2=1-\sqrt{m}$ 

cui corrispondono le seguenti ordinate:

$y_1=m\sqrt{m}$

$y_2=-m\sqrt{m}$ 

i punti di intersezione quindi sono

$C(1+\sqrt{m},m\sqrt{m})$ e

$D(1-\sqrt{m},-m\sqrt{m})$

calcoliamo il punto medio M_1:

$x_{M_1}=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1+\sqrt{m}+1-\sqrt{m}}{2}=2/2=1$

$y_{M_1}=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{m\sqrt{m}-m\sqrt{m}}{2}=0$

e quindi $M_1$ coindicide sempre con F. c.v.d

domanda b)

la funzione $f(x)$ è continua e derivabile in qualunque intervallo, quindi anche in $[x_F,x_B]=[1,2]$, quindi le ipotesi del teorema di Lagrange sono soddisfatte. pertanto esiste un certo valore $x_1$ per cui

$f'(x_1)=\frac{f(B)-f(F)}{x_B-x_F}==\frac{1-0}{2-1}=1$

adesso cerchiamo $x_1$ per il quale la derivata prima vale $1$:

$f'(x_1)=3(x_1-1)^2=1$ cioè

$(x_1-1)^2=\frac{1}{3}$

$x_1=1+\frac{1}{\sqrt{3}}$

la seconda soluzione non è accettabile in quanto fuori dall'intervallo preso in considerazione.

Scrivimi per ulteriori chiarimenti