[Risolto] Ellisse

Riscrivo le due coniche:

f(x) = {y>=0 ; x²/9 + y²/4 = 1

g(x) = {y<=0 ; x²/9 + y²/16 = 1

 

Area ellisse= pi*a*b

(a, b= semiasse maggiore e minore)

A=(1/2)*3*pi(2+4)= 9*pi

 

La retta x=t interseca le due funzioni per - 3<=t<= 3

 

Determino l'espressione analitica della funzione z(t) 

L'ascissa del punto P è sempre maggiore di - 3

PH= [t-(-3)]

 

L'ordinata di P è sempre maggiore dell'ordinata di Q

PQ=[2/3*radice (9-t²) - (-4/3*radice (9-t²)]

 

z(t) = (t+3)² + [2/3*radice (9-t²) + 4/3*radice (9-t²)]²

 

Sviluppando i conti si ricava la funzione z(t)

 

t²+6t+9+4(9-t²)=z(t)

z(t)= - 3t²+6t+45

 

Parabola con vertice nel punto di ascissa t=1.

La funzione assume valore z(1)= 48

 

Quindi il massimo si ha per t=1 e vale 48

 

Se vogliamo PQ = 4, nota l'espressione di PQ, precedentemente calcolata:

2*radice (9-t²)=4

9-t²=2

t²=5

 

=> x= ±radice (5)

 

Ciao, @enjas

I grafici delle due funzioni f e g corrispondono: il primo ad una semiellisse con valori di y positivi;

il secondo ad una semiellisse con valori di y negativi. Precisamente:

x^2/9 + y^2/4 = 1 da cui risolvendo rispetto ad y:

y = - 2·√(9 - x^2)/3 ∨ y = 2·√(9 - x^2)/3 (cioè la f)

x^2/9 + y^2/16 = 1 da cui risolvendo rispetto ad y:

y = - 4·√(9 - x^2)/3  (cioè la g)  ∨ y = 4·√(9 - x^2)/3

Entrambe le due funzioni hanno C.E. -3 ≤ x ≤ 3

quindi le rette verticali di equazione x=t intersecano le due curve per -3 ≤ t ≤ 3

I grafici sono:

L'area a si può ottenere anche con il calcolo integrale.

Per ognuna delle ellissi complete del tipo 

x^2/a^2+y^2/b^2=1

L'area si ottiene dalla misura dei semi assi con pi·a·b

Nel nostro caso:

pi·3·2 = 6·pi

pi·3·4 = 12·pi

quindi abbiamo nel caso in studio: 1/2·(6·pi + 12·pi) = 9·pi

(circa:28.27 )

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Considerando, ai fini dei grafici di cui ai quesiti, le due funzioni
* f(x) = y = + (2/3)*√(9 - x^2)
* g(x) = y = - (4/3)*√(9 - x^2)
si osservano un po' di cose utili per rispondere ai successivi quesiti.
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1) Il comune fattore √(9 - x^2) ha valori reali (utili per i grafici) per |x| <= 3.
Per |x| = 3, √(9 - x^2) = 0 ed entrambi i grafici passano per X1(- 3, 0) e X2(3, 0).
Per |x| < 3, √(9 - x^2) > 0 e i grafici giacciono nei semipiani opposti rispetto all'asse x: y = g(x) < 0; y = f(x) > 0.
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2) I due grafici appartengono alle coniche le cui equazioni si ricavano quadrando e normalizzando.
* y^2 = (+ (2/3)*√(9 - x^2))^2 ≡ 4*x^2/9 + y^2 = 4 ≡ (x/3)^2 + (y/2)^2 = 1
* y^2 = (- (4/3)*√(9 - x^2))^2 ≡ 16*x^2/9 + y^2 = 16 ≡ (x/3)^2 + (y/4)^2 = 1
cioè sono due semiellissi con il semiasse a = 3 in comune e il semiasse b = 2 per f(x) o b = 4 per g(x).
* f(x) ≡ ((x/3)^2 + (y/2)^2 = 1) & (y > 0)
* g(x) ≡ ((x/3)^2 + (y/4)^2 = 1) & (y < 0)
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3) Ai fini dei quesiti "a" e "d" si scrive un'equazione che rappresenta l'intero grafico
* ((2/3)*√(9 - x^2) - y)*((4/3)*√(9 - x^2) + y) = 0 ≡
≡ 8*x^2 + 6*y*√(9 - x^2) + 9*y^2 = 72
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) Vedi, oltre al grafico richiesto, anche i vertici nel paragrafo "Solutions"
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2C8*x%5E2%3D72-6*y*%E2%88%9A%289-x%5E2%29-9*y%5E2%5D
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b) L'area richiesta è l'integrale delle altezze relative (le corde PQ del quesito "d")
* S = ∫ [x = - 3, 3] h(x)*dx
con
* h(x) = |f(x) - g(x)| = 2*√(9 - x^2)
si ha
* H(x) = ∫ h(x)*dx = x*√(9 - x^2) + 9*arcsin(x/3) + c
* S = ∫ [x = - 3, 3] h(x)*dx = H(3) - H(- 3) = 9*π
ALTERNATIVAMENTE
Consultando un buon formulario si legge che l'area dell'ellisse è π il prodotto dei semiassi
* S = a*π*(b' + b'')/2 = 3*π*(2 + 4)/2 = *π*(2 + 4)/2
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c) Già visto nelle considerazioni iniziali: |x| <= 3.
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d1) (x = t) & (8*x^2 + 6*y*√(9 - x^2) + 9*y^2 = 72) & (- 3 <= t <= 3) ≡
≡ (x = t = ± 3) & (y = 0)
oppure
≡ (- 3 < t < 3) & (Q(t, - (4/3)*√(9 - t^2)) oppure P(t, (2/3)*√(9 - t^2)))
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d2) |PQ| = 4 ≡ h(t) = 4 ≡ 2*√(9 - t^2) = 4 ≡ t = ± √5
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e1) H(- 3, (2/3)*√(9 - t^2))
* z(t) = |HP|^2 + |PQ|^2 =
= |- 3 - t|^2 + h^2(t) =
= (t + 3)^2 + (2*√(9 - t^2))^2 ≡
≡ z(t) = - 3*(t + 3)*(t - 5) ≡
≡ z(t) = 48 - 3*(t - 1)^2
che, in un riferimento Otz, rappresenta una parabola con
* asse di simmetria parallelo all'asse z
* apertura a = - 3 < 0, quindi concavità verso z < 0
* massimo nel vertice V(1, 48)
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e2) In V(1, 48) si ha z(1) = 48.