Sia P un punto del piano di coordinate (t+1/t; t-1/t). Al variare di t diverso da 0, P descrive un luogo geometrico del quale di chiede l'equazione cartesiana e il grafico.
ciao qualcuno potrebbe aiutarmi con il numero 36? Credo di aver capito grossomodo come si fa ma non riesco ad arrivare al risultato corretto.
Grazie in anticipo!
31
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Livello 0
$x=t+1/t$
$y=t-1/t$
Queste due equazioni sono equivalenti alle seguenti due:
$x+y=2t$
$x-y=2/t$
l'obiettivo è fare sparire $t$, quindi se adesso moltiplichi fra loro le due equazioni ottieni:
$(x+y)(x-y)=2t*2/t=4$
ovvero
$x^2-y^2=4$
il grafico lo fai per punti oppure usando tools tipo Geogebra
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Livello 9
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Livello 2
L'equazione cartesiana del luogo descritto dal punto cursore P(f(k), g(k)) si ottiene eliminando il parametro k dalle coordinate di P, cioè risolvendo in k e y il sistema delle coordinate parametriche e delle eventuali condizioni restrittive sulle variabili {k, x, y}
* (x = f(k)) & (y = g(k)) & (restrizioni)
------------------------------
Nel caso di P(t + 1/t, t - 1/t), con t != 0, si ha
* (x = t + 1/t) & (y = t - 1/t) & (t != 0) ≡
≡ (t = (x - √(x^2 - 4))/2) & (y = - √(x^2 - 4))
oppure
≡ (t = (x + √(x^2 - 4))/2) & (y = + √(x^2 - 4))
da cui si ricava il luogo richiesto
* y = ± √(x^2 - 4) ≡
≡ y^2 = x^2 - 4 ≡
≡ y^2 - x^2 = - 4 ≡
≡ (x/2)^2 - (y/2)^2 = 1
che è la forma normale standard dell'equazione di un'iperbole equilatera (a = b = 2) riferita ai suoi assi (assenza dei termini lineari e rettangolare) con i fuochi sull'asse x (secondo membro positivo).
Il grafico si traccia fissando gli assi x*y = 0, gli asintoti x^2 = y^2, i vertici V(± 2, 0) e le loro tangenti x^2 = 4
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cx%5E2%3Dy%5E2%2Cx%5E2%3D4%5Dx%3D-5to5
e deve risultare come
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%2F2%29%5E2-%28y%2F2%29%5E2%3D1%2Cx%5E2%3Dy%5E2%2Cx%5E2%3D4%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-9to9
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Genius I
