[Risolto] Dubbio CE frazione di frazione

NON HA SENSO PARLARE DI "frazione di frazione": è solo un espediente tipografico.
Prima di poter discutere delle condizioni d'esistenza di un'espressione mi sembra una buona idea eliminare dalla discussione i trucchi di scrittura, perciò il mio secondo passaggio è solo di riscrittura: invertire tutte le subespressioni scritte con esponenti negativi (il primo è: azzerare il secondo membro).
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A) Passaggi formali
* ((x - (x + 1)^(- 1))/2^(- 1))/(1/(2*x^2 + 2*x - 4))^(- 1) + (7 + 8/x)/(4 - 8/x) = 5*(x^2 - x - 2)^(- 1) - 1 ≡
≡ ((x - (x + 1)^(- 1))/2^(- 1))/(1/(2*x^2 + 2*x - 4))^(- 1) + (7 + 8/x)/(4 - 8/x) - 5*(x^2 - x - 2)^(- 1) + 1 = 0 ≡
≡ ((x - 1/(x + 1))/(1/2))/(2*x^2 + 2*x - 4) + (7 + 8/x)/(4 - 8/x) - 5/(x^2 - x - 2) + 1 = 0 ≡
≡ (x - 1/(x + 1))/((x + 2)*(x - 1)) + (7 + 8/x)/(4 - 8/x) - 5/((x + 1)*(x - 2)) + 1 = 0
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B) Valori che annullano almeno un denominatore.
* x = - 2 [per (...)/((x + 2)*(x - 1))]
* x = - 1 [per 1/(x + 1), 5/((x + 1)*(x - 2))]
* x = 0 [per 8/x]
* x = + 1 [per (...)/((x + 2)*(x - 1))]
* x = + 2 [per 5/((x + 1)*(x - 2))]
E CON QUESTO SI CHIARISCE IL TUO "Dubbio CE frazione di frazione".
Vedi anche
http://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+%28%28x-%28x%2B1%29%5E%28-1%29%29%2F2%5E%28-1%29%29%2F%281%2F%282*x%5E2%2B2*x-4%29%29%5E%28-1%29%2B%287%2B8%2Fx%29%2F%284-8%2Fx%29-5*%28x%5E2-x-2%29%5E%28-1%29%2B1
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C) Semplificazioni
* (x - 1/(x + 1))/((x + 2)*(x - 1)) + (7 + 8/x)/(4 - 8/x) - 5/((x + 1)*(x - 2)) + 1 = 0 ≡
≡ (11*x^4 + 26*x^3 - 35*x^2 - 54*x + 48)/(4*(x - 2)*(x - 1)*(x + 1)*(x + 2)) = 0 ≡
≡ 11*x^4 + 26*x^3 - 35*x^2 - 54*x + 48 = 0 ≡
≡ p(x) = x*(x*(x*(11*x + 26) - 35) - 54) + 48 = 0
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D) Risoluzione
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D1) La ricerca degli eventuali zeri razionali valutando p(x) sui 40 candidati
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%7Bx%2Cx*%28x*%28x*%2811*x%2B26%29-35%29-54%29%2B48%7D%2C%7Bx%2C%7B-48%2C-24%2C-16%2C-12%2C-8%2C-6%2C-48%2F11%2C-4%2C-3%2C-24%2F11%2C-2%2C-16%2F11%2C-12%2F11%2C-1%2C-8%2F11%2C-6%2F11%2C-4%2F11%2C-3%2F11%2C-2%2F11%2C-1%2F11%7D%7D%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%7Bx%2Cx*%28x*%28x*%2811*x%2B26%29-35%29-54%29%2B48%7D%2C%7Bx%2C%7B1%2F11%2C2%2F11%2C3%2F11%2C4%2F11%2C6%2F11%2C8%2F11%2C1%2C12%2F11%2C16%2F11%2C2%2C24%2F11%2C3%2C4%2C48%2F11%2C6%2C8%2C12%2C16%2C24%2C48%7D%7D%5D
fallisce, ma evidenzia quattro inversioni
* {- 3, 84}, {- 24/11, - 28704/1331}
* {- 2, - 16}, {- 16/11, 28912/1331}
* {8/11, 4384/1331}, {1, - 4}
* {12/11, - 4296/1331}, {16/11, 32816/1331}
che isolano quattro zeri reali negl'intervalli
* (- 3, - 24/11 ~= - 2.18)
* (- 2, - 16/11 ~= - 1.45)
* (8/11 ~= 0.72, 1)
* (12/11 ~= 1.09, 16/11 ~= 1.45)
da raffinare con metodi grafico-numerici (p.es. con "Strumenti/Ricerca obiettivo ..." di Excel) se non servono gli spaventosi radicali annidati delle formule di Ferrari-Cardano.
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D2) Da
* 11*x^4 + 26*x^3 - 35*x^2 - 54*x + 48 = 0 ≡
≡ p(x) = x^4 + 26*x^3/11 - 35*x^2/11 - 54*x/11 + 48/11 = 0 ~≡
~≡ x^4 + 2.36364*x^3 - 3.18182*x^2 - 4.90909*x + 4.36364 = 0
alla fine si arriva alla scomposizione approssimata
* p(x) ~= (x + 2.6205)*(x + 1.7380)*(x - 0.80586)*(x - 1.1890) =
= x^4 + 2.36364*x^3 - 3.182*x^2 - 4.90928*x + 4.36391
che non è proprio entusiasmante, ma che per un esercizio va bene.

In un'espressione del genere, per le condizioni di esistenza devi porre tutti i denominatori diversi da zero (perchè è impossibile dividere per 0), ma anche tutte le espressioni elevate a un esponente negativo, in quanto 0^n è uguale a 0 se n>0, è indefinito se n=0 ed è impossibile se n<0.

Per riuscire a capire bene su che cosa devi fare le condizioni di esistenza devi ricordarti che devi scartare tutti i valori che, attribuiti alla x, rendono l'espressione indeterminata o impossibile. In questo caso devi porre diverse da zero tutte le espressioni elevate a -1 e tutti i denominatori.

Un'altra cosa importante: le CE si fanno sempre all'inizio per comodità: in questo modo sei sicuro di non sbagliare; ma non è necessario farle subito, l'importante è essere sicuri che tutti i passaggi che fai siano sempre possibili. Ad esempio in un'equazione fratta le CE di solito si fanno solamente dopo aver messo l'equazione a denominatore comune, ma in questo caso ti conviene farle subito.