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[Risolto] dimostrazioni geometria

  

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1) sia ABC un triangolo. Sulla parallela alla retta BC passante per A considera un punto D, appartenente allo stesso semipiano avente come origine la retta AB a cui appartiene il triangolo, tale che AD = BC. Dimostra che i due triangoli ABC e ADC sono congruenti

2) Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Conduci una parallela ad AB che interseca AC in D e BC in E. Considera su AB il punto F tale che AF=DE e dimostra che AD parallelo a EF. Conduci poi da B la parallela EF che incontra in G il prolungamento di DE e dimostra che AD=EB=EF=BG

3)dato un triangolo ABC, rettangolo in A, considera un punto D sul prolungamento di BC, dalla parte di C. Dal punto D conduci la perpendicolare a BD e indica con E il punto in cui incontra il prolungamento di AC, dalla parte di C. Dimostra che ABC=CED

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IP: AD//BC ;AB=BC

Th: ABC=ADC

Considero le rette parallele AD e BC tali per ipotesi, esse sono tagliate dalla trasversale AC, quindi formano angoli alterni interni congruenti (D^AC = A^CB): Dunque , i triangoli ABC e DCA sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli. Essi hanno infatti hanno due lati e l'angolo fra essi compreso congruente: 

-D^AC=A^CB ( per dim.precedente)

-DA=CB( per ip.)

-CA(lato in comune)

Deriva che ACB=ACD C.V.D

2)IP: AC=CB; DE//AB; AF=DE; EF//BG

TH: AD//EF; AD=EB=EF=BG

 

2021 07 27 (6)

PER dimostrare che AD//EF, consideriamo il quadrilatero AFDE, esso è un parallelogramma, perchè ha due lati opposti congruenti e paralleli: AF=DE, per ipotesi, e DE//AB, per ip. QUindi per il teorema sui parallelogrammi ("SE un quadrilatero convesso ha due lati opposti congruenti e paralleli, o i lati opposti congruenti oppure gli angoli opposti congruenti oppure le  diagonali che si incontrano nel loro punto medio allora è un parallelogramma")  il quadrilatero AFDE è un parallelogramma , deriva che avrà gli altri due lati opposti congruenti e paralleli, da proprietà dei parallelogrammi. Dunque :

-AD//EF e AD=EF

In secondo luogo per dimostrare che AD=EB=EF=BG , considero i triangoli FEB e BGE, essi sono dei triangoli isosceli , poichè hanno gli angoli alla base congruenti : 

-E^FB=F^BE, perchè le rette AD ed EF, essendo parallele, per dimostrazione precedente , formeranno angoli corrispondenti congruenti se tagliate dalla trasversale AB, essi sono D^AF e E^FB. Inoltre i triangoli FEB e BGE sono congruenti per il 2 criterio di congruenza dei triangolo, avendo un lato e gli angoli ad esso adiacenti congruenti. Infatti 

-EB è il lato comune

-F^EB=E^BG, poichè alterni interni congruenti considerando le rette parallele, per ipotesi EF e BG, tagliate dalla trasversale EB; 

-F^BE=B^EG, poichè alterni interni congruenti considerando le rette parallele , per ipotesi, FB ed EG, tagliate dalla trasversale EB. 

Deriva che i triangoli FEB e BGE sono congruenti, segue che tutti gli altri elementi saranno congruenti , in particolare:  EF=BG

Dunque : AD=EF=BG=EB C.V.D

3) 

2021 07 27 (7)

ip: BD perpendicolare a DE

th: ABC=CED

Poichè BD è perpendicolare a DE, l'angolo retto nel triangolo CED è l'angolo in D . Quindi sono entrambi triangoli rettangoli, peraltro gli angoli A^BC e C^ED sono necessariamente congruenti , dato che la somma degli angoli interni in entrambi i triangoli è 180 gradi (essendo dei triangoli ) , quindi , visto che le altre due coppe di angoli sono congruenti, l'ultima coppia di angoli(A^BC e C^ED) è necessariamente congruente. Quindi , visto che i due triangoli hanno tutti gli angoli congruenti , anche tutti i lati saranno per forza congruenti , deriva che ABC=CED C.V.D

 

 

 

 



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