1) sia ABC un triangolo. Sulla parallela alla retta BC passante per A considera un punto D, appartenente allo stesso semipiano avente come origine la retta AB a cui appartiene il triangolo, tale che AD = BC. Dimostra che i due triangoli ABC e ADC sono congruenti
2) Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Conduci una parallela ad AB che interseca AC in D e BC in E. Considera su AB il punto F tale che AF=DE e dimostra che AD parallelo a EF. Conduci poi da B la parallela EF che incontra in G il prolungamento di DE e dimostra che AD=EB=EF=BG
3)dato un triangolo ABC, rettangolo in A, considera un punto D sul prolungamento di BC, dalla parte di C. Dal punto D conduci la perpendicolare a BD e indica con E il punto in cui incontra il prolungamento di AC, dalla parte di C. Dimostra che ABC=CED
Considero le rette parallele AD e BC tali per ipotesi, esse sono tagliate dalla trasversale AC, quindi formano angoli alterni interni congruenti (D^AC = A^CB): Dunque , i triangoli ABC e DCA sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli. Essi hanno infatti hanno due lati e l'angolo fra essi compreso congruente:
-D^AC=A^CB ( per dim.precedente)
-DA=CB( per ip.)
-CA(lato in comune)
Deriva che ACB=ACD C.V.D
2)IP: AC=CB; DE//AB; AF=DE; EF//BG
TH: AD//EF; AD=EB=EF=BG
PER dimostrare che AD//EF, consideriamo il quadrilatero AFDE, esso è un parallelogramma, perchè ha due lati opposti congruenti e paralleli: AF=DE, per ipotesi, e DE//AB, per ip. QUindi per il teorema sui parallelogrammi ("SE un quadrilatero convesso ha due lati opposti congruenti e paralleli, o i lati opposti congruenti oppure gli angoli opposti congruenti oppure le diagonali che si incontrano nel loro punto medio allora è un parallelogramma") il quadrilatero AFDE è un parallelogramma , deriva che avrà gli altri due lati opposti congruenti e paralleli, da proprietà dei parallelogrammi. Dunque :
-AD//EF e AD=EF
In secondo luogo per dimostrare che AD=EB=EF=BG , considero i triangoli FEB e BGE, essi sono dei triangoli isosceli , poichè hanno gli angoli alla base congruenti :
-E^FB=F^BE, perchè le rette AD ed EF, essendo parallele, per dimostrazione precedente , formeranno angoli corrispondenti congruenti se tagliate dalla trasversale AB, essi sono D^AF e E^FB. Inoltre i triangoli FEB e BGE sono congruenti per il 2 criterio di congruenza dei triangolo, avendo un lato e gli angoli ad esso adiacenti congruenti. Infatti
-EB è il lato comune
-F^EB=E^BG, poichè alterni interni congruenti considerando le rette parallele, per ipotesi EF e BG, tagliate dalla trasversale EB;
-F^BE=B^EG, poichè alterni interni congruenti considerando le rette parallele , per ipotesi, FB ed EG, tagliate dalla trasversale EB.
Deriva che i triangoli FEB e BGE sono congruenti, segue che tutti gli altri elementi saranno congruenti , in particolare: EF=BG
Dunque : AD=EF=BG=EB C.V.D
3)
ip: BD perpendicolare a DE
th: ABC=CED
Poichè BD è perpendicolare a DE, l'angolo retto nel triangolo CED è l'angolo in D . Quindi sono entrambi triangoli rettangoli, peraltro gli angoli A^BC e C^ED sono necessariamente congruenti , dato che la somma degli angoli interni in entrambi i triangoli è 180 gradi (essendo dei triangoli ) , quindi , visto che le altre due coppe di angoli sono congruenti, l'ultima coppia di angoli(A^BC e C^ED) è necessariamente congruente. Quindi , visto che i due triangoli hanno tutti gli angoli congruenti , anche tutti i lati saranno per forza congruenti , deriva che ABC=CED C.V.D