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Livello 0
640 che a malapena riesco a leggere si riferisce al quadrilatero al centro?
Dacci un'occhiata!
A [0, 0] ; B [90, 0] ; C [120·COS(α), 120·SIN(α)]
D [30, 0] ; E [60, 0] ; F [40·COS(α), 40·SIN(α)] ; G [80·COS(α), 80·SIN(α)]
Sono le coordinate dei punti interessati al problema.
Ho fatto riferimento alla figura riportata sopra
Determino i punti mancanti H ed I di figura
a) retta EC
(y - 0)/(x - 60) = (120·SIN(α) - 0)/(120·COS(α) - 60)
y = 2·(x - 60)·SIN(α)/(2·COS(α) - 1)
b) retta BG
(y - 0)/(x - 90) = (80·SIN(α) - 0)/(80·COS(α) - 90)
y = 8·(x - 90)·SIN(α)/(8·COS(α) - 9)
Punto H:
{y = 2·(x - 60)·SIN(α)/(2·COS(α) - 1)
{y = 8·(x - 90)·SIN(α)/(8·COS(α) - 9)
Risolvo ed ottengo:
[x = 48·COS(α) + 36 ∧ y = 48·SIN(α)]
H [48·COS(α) + 36, 48·SIN(α)]
----------------------------------
c) retta DG
(y - 0)/(x - 30) = (80·SIN(α) - 0)/(80·COS(α) - 30)
y = 8·(x - 30)·SIN(α)/(8·COS(α) - 3)
d) retta EF
(y - 0)/(x - 60) = (40·SIN(α) - 0)/(40·COS(α) - 60)
y = 2·(x - 60)·SIN(α)/(2·COS(α) - 3)
Punto I:
{y = 8·(x - 30)·SIN(α)/(8·COS(α) - 3)
{y = 2·(x - 60)·SIN(α)/(2·COS(α) - 3)
Risolvo ed ottengo:
[x = 80·COS(α)/3 + 20 ∧ y = 80·SIN(α)/3]
I [80·COS(α)/3 + 20, 80·SIN(α)/3]
L'area del quadrilatero EHGI si ottiene dalle coordinate dei vertici del quadrilatero:
[60, 0]----> E
[48·COS(α) + 36, 48·SIN(α)]-----> H
[80·COS(α), 80·SIN(α)]-------> G
[80·COS(α)/3 + 20, 80·SIN(α)/3]----> I
[60, 0] per chiudere.
Si calcola l'area come:
1/2·ABS(60·48·SIN(α) + (48·COS(α) + 36)·80·SIN(α) + 80·COS(α)·80·SIN(α)/3 + (80·COS(α)/3 + 20)·0 - (60·80·SIN(α)/3 + (80·COS(α)/3 + 20)·80·SIN(α) + 80·COS(α)·48·SIN(α) + (48·COS(α) + 36)·0))
ottenendo: 1280·ABS(SIN(α)) = 640-----> SIN(α) = 1/2
(quindi α = pi/6)
Area triangolo ABC:
Α = 1/2·90·120·SIN(pi/6)-----> Α = 2700 u^2
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Genius III
@lucianop Sostanzialmente la tua soluzione è analoga a quella di @gabo, con la sola differenza che tu hai fatto ricorso alla trigonometria per definire le coordinate di C mentre lui ha utilizzato generiche coordinate cartesiane. In entrambi i casi avete poi utilizzato il cosiddetto metodo dei lacci, onde evitare di dover suddividere il quadrilatero in due triangoli, per poi determinare le misure delle altezze con la distanza di un punto da una retta. A pensarci bene la mia idea iniziale di far ricorso ad un triangolo affine all'originale avrebbe solo reso meno ardui i calcoli delle coordinate per trovare, in funzione del generico parametro che individuava le coordinate di C, l'area del triangolo e del quadrilatero affine. Nell'affinità di figure analoghe si mantiene la proporzionalità fra aree e quindi sarei risalito tramite la costante di proporzionalità all'area del triangolo originale. Ma, a ben vedere, l'affinità fra figure geometriche si studia solo a livello universitario e, ora che ho visto l'origine del quesito, non penso fosse il caso di scomodare le affinità. Un po' mi ha tratto in inganno il titolo "Un calcolo per esperti".Ho presunto che fossi tu l'artefice del quesito e ho pensato a questioni di "alta matematica". Tuttavia, come in questo caso, è meglio imboccare la via più lunga ma pianeggiante piuttosto che scegliere una scorciatoia impervia e faticosa. Bravi ad entrambi. Appena avrò tempo posterò la soluzione "affine", come farebbe uno zelante addetto dell'"ufficio complicazione affari semplici". Per il momento, caro Luciano ti auguro una buona fine settimana.
Buon fine settimana pure a te.
Potrebbe essere 2700??
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Genius III