[Risolto] Calcolare il numero di funzioni suriettive

Ti occorrono tutte le funzioni che da 6 elementi ti mandino in 4 elementi.

Allora hai C(6,4) modi in cui puoi scegliere in A gli elementi a cui attribuire una immagine in B

e per ognuno di questi puoi permutare le 4 immagini in 4! = 24 modi. E 15 x 24 = 360.

Al quinto e sesto elemento rimasto in A puoi associare una qualunque delle 4 immagini di B

ma ( a rigore ) anche nessuna perché ciò non contraddice la definizione di funzione.

Allora 5*5 * 360 = 9000

Se la traccia insiste che ogni elemento deve avere una immagine, allora 16*360 = 5760.

Nella frase definitoria di A → B
* "ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio"
la costruzione con l'avverbio è un'alternativa a quella con la disgiunzione (vel, non aut!)
* "ogni elemento del codominio è immagine di uno o più elementi del dominio"; e, se si tratta di "più elementi", è irrilevante l'ordine in cui li si elenca.
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Con
* A = {a, b, c, d, e, f}
* |A| = 6
* B = {w, x, y, z}
* |B| = 4
per ciascun elemento immagine (|B|*) ci può essere, come insieme argomento, un qualsiasi sottinsieme non vuoto di A (quasi tutto l'insieme delle parti: 2^|A| - 1).
In tutto
* |B|*(2^|A| - 1) = 4*(2^6 - 1) = 252

@iloveyou

Per definizione di funzione: tutti gli elementi di A quindi n=6 devono essere impegnati nel legame

A--->B con 1 solo elemento di B; per essere suriettiva la funzione deve essere tale per cui ogni elemento di B quindi m= 4 deve essere immagine di almeno un elemento di A.

A ha cardinalità pari a 6

B ha cardinalità pari a 4

L’idea di calcolare tutte le funzione suriettive ovviamente con n ≥ m è quella di introdurre

la funzione   Sur (n,m) . Tale funzione calcola il numero delle funzioni suriettive f di A in B con le seguenti relazioni:

Sur(n,1)=1

Sur(n,2)=2^n-2

Sur(n,3)=3^n-3*2^n+3

Sur(n,4)=4^n-4*3^n+6*2^n-4

Sur(n,5)=5^n-5*4^n+10*3^n-10*2^n+5

N.B. Osservare che appare il triangolo di Tartaglia

Nel nostro caso:

Sur(6,4)= 4^6 - 4·3^6 + 6·2^6 - 4 = 1560

Vedi articolo:

DIGILANDER.LIBERO.IT "https://digilander.libero.it/ottavioserra0/articoli/Miscellanea/CONTEGGIO+di+FUNZIONI.pdf"