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[Risolto] Dubbio proprietà di una relazione

  

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Sia $A\4\right\}$. Determinare se $\rho$ è una relazione riflessiva, simmetrica, antisimmetrica o transitiva. Giustificare la risposta.

$\rho =\left\{\left(1;\4\right)\right\}$

Ho bisogno di un chiarimento perché sono un po' confuso a riguardo.

$\rho$ non è riflessiva perché ogni elemento non è in relazione con sé stesso, mancano dunque le coppie $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)$. Fin qui okay.

Ma non ho capito perché questa relazione non è simmetrica, antisimmetrica e transitiva. Sicuramente sbaglio il ragionamento.

Definizione simmetrica: $\forall a,b\:\in A,\\rho \\Rightarrow \\rho \:a$

Nel caso della relazione sopra, sarebbe $(1,2) \Rightarrow (2,1)$, giusto? Ora, dato che la coppia $(1,2)$ non è presente la premessa è falsa e dunque l'implicazione è vera. Quindi la relazione è simmetrica. Dove sbaglio? Ho fatto un ragionamento analogo anche per le altre proprietà sbagliando tutto 😥 

Grazie in anticipo

 

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Non é simmetrica perché c'é la coppia (1,4) ma non (4,1)

Per essere la relazione simmetrica scambiando elementi di coppie in relazione si dovrebbero ottenere ancora coppie in relazione.

Non é antisimmetrica perché c'è (1,3) e anche (3,1)

 

e non é transitiva perché c'é (1,3), (3,1) ma non c'é (1,1)

Hai quindi trovato un percorso in due passi che non si può fare in un passo solo.



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Occorre ricordare che:

per dimostrare che un'affermazione è vera occorre verificarla per tutti i casi possibili

mentre

per dimostrare che un'affermazione è falsa è sufficiente trovare un caso non vero, tale caso è detto controesempio. Se l'insieme A fosse infinito l'elenco di tutti i casi che non verifica la relazione potrebbe essere complesso.

 

  • ρ è riflessiva! Falsa. Infatti manca la coppia (1,1)
  • ρ è simmetrica! Falsa. Infatti è presente la coppia (2,1) ma manca la coppia (2,2)
  • ρ è antisimmetrica! Falsa. Infatti sono presenti entrambe le coppia (1,3) e (3,1)
  • ρ è transitiva! Falsa. Infatti sono presenti le coppia (1,3) e (3,1) ma manca la coppia (1,1)   

 

@cmc dovresti rileggere con calma ciò che hai scritto e magari rieditare qualcosina.

Problema generato dall'eccessivo uso del copia & incolla. Grazie.



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