In uno spazio metrico $(\mathbb{R}^3, d_2)$ con metrica euclidea $d_2$:
1) L'insieme $A = \{ x_1 + x_2 = 2 \}$ è aperto?
2) L'insieme $A = \{ x_1 + x_2 + x_3 > 0 \}$ è aperto?
3) L'insieme $A = \{ x_1^2 + x_2^2 < 1, x_3 = 0 \}$ è chiuso?
4) L'insieme $A = \{ x_1 x_2 x_3 \neq 0 \}$ è aperto?
Giustificare brevemente le risposte.
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Livello 6
Soluzione (insicura):
Non sono sicura della rigorosità del metodo utilizzato, ma dato che lo spazio è rappresentabile facilmente e che gli insiemi aperti sono tali se è possibile costruire una palla, qui per la precisione una sfera, centrata in un punto qualsiasi dell'insieme con un raggio sufficientemente piccolo tale che essa sia totalmente interna, ho pensato possa essere valido.
(1) L'insieme rappresenta una retta di equazione $y=2-x$ con $z$ arbitrario, si può dunque immaginare un piano ortogonale ad $Oxy$ costruito tirando su la retta. Se si prende un punto qualsiasi risulta che la sfera è attraversata dal piano e non resta interna, dunque l'insieme non può essere aperto.
(2) L'insieme rappresenta la regione di spazio sovrastante il piano passante per l'origine. Preso un punto qualsiasi dell'insieme è possibile costruire una sferetta che resti interna all'insieme. L'insieme è dunque aperto.
(3) L'insieme rappresenta una circonferenza unitaria pogiata su un piano ortogonale all'asse $z$. Dato che l'insieme non contiene i punti limite $x_1²+x_2²=1$ esso non può considerarsi chiuso.
(4) L'insieme può essere visto come lo spazio privato dell'origine, dunque qualcosa del tipo $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Ciò implica che è aperto dato che è formato da unioni di aperti.
Tutto corretto, anche come giustificazione formale.
Una piccola precisazione: l'insieme 4 è formato dallo spazio $R^3$ privato degli assi, non solo dell'origine.
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Livello 6
@n_f grazie mille<3
