Compatti e topologia indotta da metrica discreta

L'obiettivo è estrarre un sottoricoprimento aperto finito, quindi credo siano tutti i sottoinsiemi finiti, dunque limitati, dato che con la topologia discreta ogni sottoinsieme è sia aperto che chiuso. Se è corretta potreste aiutarmi a renderla più "formale" stile dimostrazione? Inoltre ho qualche dubbio su una sottigliezza circa il sottoricoprimento finito, se ogni punto è un aperto, non significa che per coprire tutto l'insieme sono necessari tutti i punti e dunque tutti gli aperti invece che solo alcuni di essi?

@rebc ti do un aiutino. Se hai un insieme infinito di punti $X$, puoi estrarre dal ricoprimento aperto $(B_{\frac{1}{2}}(x))_{x \in X}$ un sotto ricoprimento finito? E se invece l’insieme fosse finito ci riusciresti?

Nel primo caso no perché sarebbero necessarie infinite palle; nel secondo caso invece, dato che l'insieme è finito, le palle sono finite e dunque formano un ricoprimento finito (aperto perché i punti sono interni).

@rebc cosa puoi concludere quindi?