[Risolto] Sistemi di disequazioni

Determiniamo l'insieme delle soluzioni $S_1$ della prima disequazione. Di seguito, determiniamo l'insieme delle soluzioni $S_2$ della seconda disequazione. L'insieme delle soluzioni S del sistema sarà l'intersezione tra $S = S_1 ∩  S_2 $

i) $S_1$

Portiamo a sinistra tutti i termini

$ \frac{5x^2+6-5(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4} \le 0$    

$ -\frac{14+10x}{(x-2)(x^2+2x+4} \le 0$ 

Eliminiamo le costanti positive e il trinomio che risulta positivo per ogni valore di x reale

$ -\frac{5+5x}{x-2} \le 0$ 

Passiamo alla griglia

______-7/5_______2______

++++++0---------------------   -(5x+7)

----------------------X+++++   (x-2)

----------0++++++X---------    segno diseq.

$ S_1 = (-∞, -7/5) ∪ (2, +∞) $

ii) $S_2$

$ \frac{x(x-6)}{7-x} \ge 0 $

griglia

_______0______6______7_____

----------0+++++++++++++++    x

--------------------0+++++++++     x-6

++++++++++++++++X-------     7-x

+++++0----------0++++X-------     Segno diseq.

$ S_2 = (-∞, 0] ∪ [6, 7) $

Conclusione.  $ S = S_1 ∩ S_2 = (-∞, -7/5) ∪ [6, 7) $

{(5·x^2 + 6)/(x^3 - 8) - 5/(x - 2) < 0

{(x^2 - 6·x)/(7 - x) ≥ 0

-------------------------------------

Risolviamo separatamente le due disequazioni e poi metteremo a sistema le due soluzioni ottenute.

((5·x^2 + 6) - 5·(x^2 + 2·x + 4))/((x - 2)·(x^2 + 2·x + 4)) < 0

(- 10·x - 14)/(x - 2) < 0

( tenendo conto che x^2 + 2·x + 4 > 0 per ogni valore di x)

x < - 7/5 ∨ x > 2

x·(x - 6)/(7 - x) ≥ 0

N(x):

+++++[0]-------[6]++++++++>x

D(x):

+++++++++++++++(7)------->x

Segno rapporto:

+++++[0]-----[6]+++(7)------->x

soluzione:

6 ≤ x < 7 ∨ x ≤ 0

------------------------------

{x < - 7/5 ∨ x > 2

{6 ≤ x < 7 ∨ x ≤ 0

soluzione sistema:

[x < - 7/5, 6 ≤ x < 7]