Uniforme continuità

a. 

Usiamo il teorema di estensione per affermare che la funzione f(x) è uniformemente continua in (0, 1].

Osserviamo che $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 $

Si può provare con il teorema del confronto a due.

Introduciamo la funzione f(x) estesa $ \bar{f}(x)$ definita come

$ \bar{f}(x) = \begin{cases} f(x) & x \in (0, 1] \\0 & x = 0 \end{cases} $

Essendo continua e definita in un compatto, per il teorema di Heine Cantor è Uniformemente  Continua. Lo sarà quindi nel suo sotto-intervallo (0,1] dove coincide con f(x).

b.  Proviamo che f(x) è U. C. in [1, +∞)

Osserviamo che $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 $ Infatti

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = 1 $

è un limite notevole, è sufficiente sostituire $t = \frac{1}{x} $

Essendo la funzione f(x) continua in [1, +∞) in virtù di un teoremino sarà U.C.

c. Conclusione

La funzione f(x) è continua in (0, +∞)

La funzione f(x) è U.C. in (0, 1]

La funzione f(x) è U.C. in [1, +∞)

In virtù di un teorema allora lo sarà anche in (0, +∞)