[Risolto] Spazio vettoriale normato

Sia (V, || . ||)
uno spazio vettoriale normato.
Dimostrare che V è uno spazio a dimensione finita se e solo se ogni sottospazio vettoriale è chiuso rispetto la norma || . ||.
.
MathGPT Assistant
Dimostriamo la seguente affermazione:
Sia V uno spazio vettoriale normato. Allora V
è di dimensione finita se e solo se ogni sottospazio vettoriale di V
è chiuso.
Dimostrazione
(⇒) Se V è di dimensione finita, allora ogni sottospazio è chiuso
Se V è di dimensione finita, tutte le norme su V
sono equivalenti e V
è uno spazio di Banach (completo). In uno spazio vettoriale normato di dimensione finita, ogni sottospazio vettoriale è chiuso.
Dimostrazione:
Sia W C V
un sottospazio vettoriale. Sia (xn) una successione in W
che converge a x in V. Poiché W è un sottospazio, per ogni n, xn é in W.
Ma in uno spazio vettoriale di dimensione finita, la topologia indotta dalla norma coincide
con la topologia euclidea, e i sottospazi vettoriali sono chiusi rispetto a questa topologia.
Quindi x é in W, cioè W è chiuso.

(⇐) Se ogni sottospazio vettoriale è chiuso, allora V è di dimensione finita

Supponiamo per assurdo che V sia di dimensione infinita. Allora esiste una base infinita

{e1, e2, ...}

Consideriamo il sottospazio

span {e1, e2, ... }
e, per ogni n, il sottospazio

{ e1, e2 ... en }

che è di dimensione finita.
Consideriamo ora il sottospazio

U = { e1, e2, ... }

e il vettore

x = S_k:1->oo 1/2^k * ek

Se la norma è tale che questa serie converge (ad esempio, in l^p )
allora appartiene x alla chiusura di U, ma non a nessun Wn.

In generale, in uno spazio di dimensione infinita, esistono sottospazi non chiusi
(ad esempio, il sottospazio delle successioni a supporto finito in l^p non è chiuso).

Quindi, se ogni sottospazio è chiuso, V non può essere di dimensione infinita.

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non so se riesci a leggerlo.