[Risolto] Proprietà distribuzione di Poisson

DAL FONDO ALL'INSU': prima la parte chiara, poi quella confusa, infine la richiesta.
"Grazie mille!" non c'è di che, sono affamato di domandine a cui rispondere.
"é un ragionamento giusto?" no o sì, come nelle barzellette sui Carabinieri.
Dal punto di vista linguistico matematico sicuramente NO: un discorso costituisce ragionamento solo se non contiene ambiguità, e non è questo il caso.
Invece, come chiacchiera da Bar del Tennis, hai quasi ragione.
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AMBIGUITA' FONDAMENTALI
A) "sul fatto che dipende dal numero di eventi n" ne suscita due, di dubbii.
A1) il soggetto di "dipende" è "funzione" o "distribuzione"?
A2) ciò che compare sotto fattoriale è il "numero di eventi n" dichiarato o la variabile reale "x" scritta nella formula?
Mi spiego.
Se il soggetto è distribuzione non c'è da discutere: avresti dovuto scrivere la funzione con "n" e hai sbagliato a scriverla con "x".
Di conseguenza la "funzione che descrive" è definita sui cardinali (gl'interi non negativi N0, non N) e non solo sui naturali perché, di eventi rari, può anche non accaderne nessuno (f(0) = 1/e^λ è un valore ben definito per ogni λ reale).
Se il soggetto è funzione qualcosina da discutere c'è: la variabile della funzione è sì la "x", ma non compare sotto fattoriale, bensì come argomento di Gamma; avresti dovuto scrivere il denominatore "Γ(x + 1)" e hai sbagliato a scrivere "x!".
Nel primo caso la funzione, essendo di variabile discreta, non può essere continua e tantomeno derivabile.
Nel secondo caso la funzione, essendo di variabile reale, è definita quasi ovunque (l'intero asse x meno l'insieme di misura nulla delle ascisse intere non positive: (R - Z) oppure N) ed è ivi sia continua che derivabile.
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MINCHIATINE QUA E LA'
B) "il dominio di questa fosse dato da tutti i numeri naturali" non è bello passare lo zero in cavalleria.
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C) "e che quindi sia continua nel suo dominio e non sia possibile derivarla"
ERRORE, ma anche quasi ragione! O tutt'e due o nessuna, vedi sub A.
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D) "essa non è definita per i limiti di successioni" BOH?
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UNA RICHIESTA PARTICOLARE
E) "come posso analizzare le proprietà di continuità e derivabilità della funzione che descrive la distribuzione di Poisson?" Vedi sub A.

Sicuro che non intenda la famiglia di funzioni di lambda parametrata in n ?

Se invece la variabile indipendente é veramente x, le tue considerazioni sono corrette : la funzione é definita su un insieme discreto numerabile. Escludo il caso di pensare al fattoriale come una Gamma, perché di sicuro non l'hai fatto.