[Risolto] AIUTOOO!! PROBLEMA SULL’IPERBOLE

@moni

Ciao. Se ho tempo e voglia , ti risponderò più tardi (non prima di 2-3 ore o nel pomeriggio). Adesso non mi sembra corretto.

Anche se l'hai risolto posto la risoluzione anch'io così puoi anche confrontarla con la tua.

y = (2·x - a)/(b·x + c) (funzione omografica)

Sfrutto l'informazione che determina l'equazione dell'asintoto orizzontale:

2/b = 1 (rapporto tra i coefficienti della x)

Poi

Passaggio della funzione per il punto assegnato:

-4 = (2·0 - a)/(b·0 + c)------> a/c = 4

Poi sfrutto il significato geometrico di derivata in un punto. Quindi:

m = 5 ; y'=dy/dx=(a·b + 2·c)/(b·x + c)^2

per x=0:

(a·b + 2·c)/c^2 = 5

Metto a sistema le tre informazioni:

{2/b = 1

{a/c = 4

{(a·b + 2·c)/c^2 = 5

Risolvo tale sistema:

[a = 8 ∧ b = 2 ∧ c = 2]

La funzione è:  y = (2·x - 8)/(2·x + 2)

Determino la retta passante per il centro C(-1,1) dell'iperbole:

m = -1 (della bisettrice del 2° e 4° quadrante)

Quindi:   y - 1 = - 1·(x + 1)  ----> y = -x (coincide con la bisettrice stessa)

Metto a sistema per determinare il punto B:

{y = -x

{y = 5·x - 4

risolvo: [x = 2/3 ∧ y = - 2/3]----->B(2/3,-2/3)

Organizzo la matrice riferita ai tre punti che compongono il triangolo:

[0, -4]

[2/3, - 2/3]

[-1, 1]

[0, -4]

Determino l'area con il metodo dell'allacciamento delle scarpe

1/2·ABS(0·(- 2/3) + 2/3·1 + (-1)·(-4) +

- (0·1 + (-1)·(- 2/3) + 2/3·(-4))) = 10/3

 

 

 

QUALCHE ORA DOPO LA PUBBLICAZIONE PENSO DI POTERTI RISPONDERE SENZA RISCHIO.
Ovviamente mi tocca aggiungere le quattro parentesi che ti rimasero nella tastiera.
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PARTE #1
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Ogni curva Γ che abbia per equazione una funzione omografica
* Γ ≡ y = (k*x + a)/(b*x + c)
con (b != 0) & (k*c != a*b) è un'iperbole equilatera con
asintoti paralleli agli assi coordinati
* x = - c/b
* y = - k/b
e pendenza
* dy/dx = m(x) = (c*k - a*b)/(b*x + c)^2
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Imporre che Γ abbia in A(u, m*u + q) la tangente
* t ≡ y = m*x + q
implica due vincoli sui parametri.
1) Passaggio di Γ per A: m*u + q = (k*u + a)/(b*u + c)
2) Pari pendenza all'ascissa u: (c*k - a*b)/(b*u + c)^2 = m
da cui
* (m*u + q = (k*u + a)/(b*u + c)) & ((c*k - a*b)/(b*u + c)^2 = m) ≡
≡ (b = (k*q - a*m)/(m*u + q)^2) & (c = (a*(2*m*u + q) + k*m*u^2)/(m*u + q)^2)
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NEL CASO IN ESAME
Con
* k = 2
* y = - k/b = - 2/b = 1 ≡ b = - 2
* m = 5
* q = - 4
* u = 0
si ha
* - 2 = (2*(- 4) - a*5)/(5*0 - 4)^2 ≡ a = 24/5
* c = (a*(2*5*0 - 4) + 2*5*0^2)/(5*0 - 4)^2 = - a/4 = - 6/5
quindi si definiscono l'equazione, l'asintoto verticale e il centro
* Γ ≡ y = (2*x + 24/5)/(- 2*x - 6/5) ≡ y = - (5*x + 12)/(5*x + 3)
* x = - 3/5
* C(- 3/5, 1)
Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=asymptotes+y%3D-%285*x%2B12%29%2F%285*x%2B3%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D5*x-4%2Cy%3D-%285*x%2B12%29%2F%285*x%2B3%29%5D
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IL RISULTATO ATTESO
* Γ ≡ y = (2*x - 8)/(2*x + 2)
tocca la stessa retta nello stesso punto ed ha lo stesso asintoto orizzontale.
Ha differenti l'asintoto verticale (x = - 1) e, ovviamente, il centro C'(- 1, 1).
EVIDENTEMENTE L'ESERCIZIO E' SOTTOSPECIFICATO
se due diverse iperboli entrambe soddisfanno correttamente ad entrambe le condizioni "asintoto la retta y=1" e "tangente in A(0;-4) la retta t:y=5x-4".
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PARTE #2
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Il fascio di parallele alla bisettrice dei quadranti pari, con pendenza m = - 1, è
* p(q) ≡ y = q - x
Fra di esse quella per C(u, v) è
* p(u + v) ≡ y = u + v - x
Si ha
* (y = u + v - x) & (y = m*x + q) ≡
≡ B((u + v - q)/(m + 1), (m*(u + v) + q)/(m + 1))
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NEI CASI IN ESAME
In entrambi i risultati (calcolato e atteso) si ha
* m = 5
* q = - 4
* v = 1
quindi
* p(u + 1) ≡ y = u + 1 - x
* B((u + 5)/6, (5*u + 1)/6)
Nel risultato calcolato si ha
* u = - 3/5
* p(2/5) ≡ y = 2/5 - x
* B(11/15, - 1/3)
Nel risultato atteso si ha
* u = - 1
* p'(0) ≡ y = - x
* B'(2/3, - 2/3)
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PARTE #3
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Tre punti formano triangolo se non sono allineati.
L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate (v. http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo#Formule_analitiche )
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
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NEI CASI IN ESAME
Con i vertici
* A(0, - 4), B(11/15, - 1/3), C(- 3/5, 1)
si ha
* S(ABC) = 44/15
Con i vertici
* A(0, - 4), B'(2/3, - 2/3), C'(- 1, 1)
si ha
* S(AB'C') = 10/3