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[Risolto] INTEGRALI, DERIVATE E LIMITI

  

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La potenza P sviluppata dal motore di una bicicletta elettrica ha un andamento temporale rappresentato nel grafico in figura, il cui massimo corrisponde all’ascissa 𝑡=3𝑠.
a. In base ai dati rappresentati, determina i valori delle costanti a e b in modo che la funzione
𝑃(𝑡)=(𝑎𝑡2+𝑏𝑡)/(𝑡2+1) , 𝑐𝑜𝑛 𝑡>0
abbia come grafico quello assegnato e determina il valore di picco della potenza.
b. Ricava il lavoro 𝐿(𝑡) svolto dal motore tra 0 e t secondi, ricordando che 𝑃=𝐿’. In particolare, determina 𝐿(1).

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LA FUNZIONE E I SUOI CONTORNI
* P(t) = (a*t^2 + b*t)/(t^2 + 1), con t > 0
* P'(t) = dP/dt = - (b*t^2 - 2*a*t- b)/(t^2 + 1)^2, con t > 0
* L'(t) = dL/dt = P(t), con t > 0 ≡
≡ L(t) = ∫ [u = 0, t] ((a*u^2 + b*u)/(u^2 + 1))*du ≡
≡ L(t) = a*(t - arctg(t)) + (b/2)*ln(t^2 + 1)
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RISPOSTE AI QUESITI
---------------
a) "In base ai dati rappresentati ..."
* P'(3) = 0 ≡ b*3^2 - 2*a*3- b = 0 ≡ b = (3/4)*a
* P(t) = a*t*(t + 3/4)/(t^2 + 1), con t > 0
* P(3) = a*3*(3 + 3/4)/(3^2 + 1) = (9/8)*a > 4 ≡ a > 32/9 ~= 3.(5)
* lim(t → ∞) (a*t*(t + 3/4)/(t^2 + 1)) = a
* lim(t → ∞) P(t) = 4 ≡ a = 4
da cui
* b = 3
* P(3) = 9/2
* P(t) = t*(4*t + 3)/(t^2 + 1), con t > 0
---------------
b1) "Ricava il lavoro L(t) ..."
* L(t) = 4*(t - arctg(t)) + (3/2)*ln(t^2 + 1)
---------------
b2) "In particolare, determina L(1)"
* L(1) = 4*(1 - arctg(1)) + (3/2)*ln(1^2 + 1) =
= 4*1 - 4*π/4 + (3/2)*ln(2) =
= 4 - π + (3/2)*ln(2) ~= 1.898




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P(t) = (at^2 + bt)/(t^2 +1 )

max per t = 3

asintoto orizzontale P = 4

Quindi prendendo il limite per t -> oo

a = 4

P(t) = (4t^2 + bt)/(t^2 + 1)

P'(t) = [(8t+b)(t^2 + 1) - 2t(4t^2 + bt) ]/(t^2 +1 )^2

per t = 3 P'(t) = 0 allora

(24 + b)*10 - 6(36 + 3b) = 0

240 + 10b - 216 - 18b = 0

8b = 24

b = 3

P(t) = (4t^2 + 3t)/(t^2+1)

https://www.desmos.com/calculator/4ojfxaww11

L(t) = S_[0,t] (4u^2 + 3u)/(u^2+1) du =

= S_[0,t] [ 4 + (3u - 4)/(u^2+1) ] du =

= [ 4u + 3/2 S 2u du/(u^2 + 1) - 4 S du/(u^2+1) ]_[0,t] =

= [ 4u + 3/2 ln (u^2 + 1) - 4 arctg*(u) ]_[0,t] =

= 4t + 3/2 ln (t^2+1) - 4 arctg*(t)

 

L(1) = 4 + 3/2 ln 2 - 4 arctg*(1) =

= (4 - pi + 3/2 * 0.693) kJ = 1.898 kJ =

 

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@toto_matt

Ciao.

P(t)=(a·t^2 + b·t)/(t^2 + 1)  con  t>0

Per t--->+inf deve valere il rapporto: a/1 = 4 -----> a = 4

In corrispondenza di tale valore di a, la derivata P'(t)=0 in quanto si ha un max!

P'(t)=(2·a·t + b·(1 - t^2))/(t^2 + 1)^2

(2·4·t + b·(1 - t^2))/(t^2 + 1)^2 = 0

2·4·t + b·(1 - t^2) = 0

2·4·3 + b·(1 - 3^2) = 0

24 - 8·b = 0-------> b = 3

Quindi la funzione potenza è: P(t) = (4·t^2 + 3·t)/(t^2 + 1)

Il valore di picco della potenza è:

Pmax=(4·3^2 + 3·3)/(3^2 + 1)= 4.5 W (1W = 1 J/s)

Dalla relazione P= dL/dt, per integrazione della funzione trovata si determina L(t):

∫(4·t^2 + 3·t)/(t^2 + 1) dt = - 4·ATAN(t) + 3·LN(t^2 + 1)/2 + 4·t (assunta costante integrazione nulla per t=0).

L(t)=- 4·ATAN(t) + 3·LN(t^2 + 1)/2 + 4·t per t>0

Per t=1 si ha:

L(1)=- 4·ATAN(1) + 3·LN(1^2 + 1)/2 + 4·1=3·LN(2)/2 - pi + 4= 1.898 J

 

 

 






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