[Risolto] Esercizio parabola

Ciao!

Consideriamo le generiche rette uscenti dal punto $C(2; -\frac73)$:

$y = mx+q $

$-\frac73 = 2m + q \Rightarrow q = -\frac73 -2m$

Quindi: 

$$y = mx -\frac73 -2m $$

Facciamo l'intersezione tra queste rette e la parabola $y = \frac12 x^2-2x $

$\begin{cases} y = \frac12 x^2-2x \\ y = mx -\frac73 -2m  \end{cases} $

$\begin{cases}  mx -\frac73 -2m  = \frac12 x^2-2x \\ y = mx -\frac73 -2m  \end{cases} $

$\begin{cases}  \frac12 x^2 +x( -2-m)+\frac73+2m  = 0 \\ y = mx -\frac73 -2m  \end{cases} $

Il numero delle soluzioni di $\frac12 x^2 +x( -2-m)+\frac73+2m  = 0 $ ci dice il numero delle intersezioni tra laparabola e la retta. Noi vogliamo la tangenza, cioè che ci sia una sola intersezione, cioè che l'equazione abbia $\Delta = 0 $

$\Delta = b^2-4ac = (-2-m)^2-4(\frac12)(\frac73+2m)$

$ = 4+m^2+4m - \frac{14}{3} -4m = m^2 +4 -\frac{14}{3} = m^2 -\frac23 $

Quindi:

$m^2 -\frac23 = 0 \Rightarrow m^2 = \frac23 \Rightarrow m = \pm \sqrt{\frac13}$

Quindi abbiamo individuato le due rette:

$m = \sqrt{\frac23} \Rightarrow y = \sqrt{\frac23} x -\frac73 -2\sqrt{\frac23}$

$m = -\sqrt{\frac23} \Rightarrow y =- \sqrt{\frac23} x -\frac73 +2\sqrt{\frac23} $

Determiniamo le intersezioni tra queste rette e la parabola:

Per $A$:

$\frac12 x^2 +x( -2-\sqrt{\frac23})+\frac73+2\sqrt{\frac23}  = 0 $ 

Sappiamo già che il suo $\Delta = 0$, quindi:

$x_A = -\frac{b}{2a} = +2+\sqrt{\frac23} $

mentre

$y_A = \sqrt{\frac23} x_A -\frac73 -2\sqrt{\frac23} $

$ =  \sqrt{\frac23} (+2+\sqrt{\frac23}) -\frac73 -2\sqrt{\frac23} = $

$ =  2 \sqrt{\frac23} +\frac23-\frac73 -2 \sqrt{\frac23} = -\frac53$

quindi $A (+2+\sqrt{\frac23}; -\frac53)$

per $B$ invece 

$\frac12 x^2 +x( -2+\sqrt{\frac23})+\frac73-2\sqrt{\frac23}  = 0 $ 

Sappiamo già che il suo $\Delta = 0$, quindi:

$x_B = -\frac{b}{2a} = +2-\sqrt{\frac23} $

mentre

$y_B = - \sqrt{\frac23} x_B -\frac73 +2\sqrt{\frac23} $

$ = - \sqrt{\frac23} (+2-\sqrt{\frac23}) -\frac73 +2\sqrt{\frac23} = $

$ = - 2 \sqrt{\frac23}+\frac23-\frac73 +2 \sqrt{\frac23} = -\frac53 $

quindi $B (+2-\sqrt{\frac23}; -\frac53)$

 

Determiniamo ora le distanze dei vertici $ABC$ del triangolo:

 

$AB = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} = \sqrt{ (2\sqrt{\frac23})^2 +(0)^2} = $

=$ \sqrt{\frac83 }  =  2 \sqrt{\frac23} $

$BC = \sqrt{ \frac23+\frac49} = \sqrt{\frac83} = 2 \sqrt{\frac23} $

$CA = \sqrt{ \frac23+\frac49} = \sqrt{\frac83} = 2 \sqrt{\frac23} $