La tangente di un angolo
Consideriamo un angolo orientato $\alpha$ e chiamiamo C l’ intersezione fra il lato termine e la circonferenza goniometrica di centro O e raggio unitario. Definiamo tangente di $\alpha$ la funzione che ad a associa il rapporto, quando esiste fra l’ordinata e l’ascissa dal punto C:
$$\tan \alpha =\frac{y_B}{x_B} $$
Il rapporto $ \frac{y_B}{x_B} $ non esiste quando $x_B=0$, ossia per $\alpha =\frac{\Pi }{2}+k\Pi $.
Il dominio della funzione tangente è quindi:
$\alpha \neq \frac{\Pi }{2}+k\Pi $ con $k\in Z$ .
OSSERVAZIONE
La tangente è una funzione dispari essendo $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha $.
Un piccolo accenno per le funzioni pari e le funzioni dispari:
Il grafico della funzione tangente
Di seguito è riportato il grafico della funzione tangente $y=\tan x$ nell’intervallo $\left[0;\Pi \right] $.
Il periodo
La tangente è una funzione periodica di periodo $ \Pi $, cioè qualunque sia l’angolo $ \alpha $, è:
$$\tan \alpha =\tan (\alpha +k\Pi )$$ , $k\in Z$
Il grafico completo della tangente si chiama tangentoide.
Il significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta
Il coefficiente angolare di una retta è pari a
$$m=\frac{y}{x} $$
In particolare, se x=1, $y= \tan \alpha $ si ha
$$m=\frac{ \tan \alpha }{1}= \tan \alpha $$
Il coefficiente angolare della retta è uguale alla tangente dell’angolo fra la retta e l’asse x.
Dalla geometria analitica sappiamo che due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare e, inoltre, rette parallele formano angoli congruenti con l’asse x. Ciò permette di estendere il risultato ottenuto anche a rette che non passano per l’origine.
La seconda relazione fondamentale
Consideriamo la circonferenza goniometrica di centro l’origine e raggio unitario.
Per definizione:
$$ \tan \alpha =\frac{y_B }{x_B } $$
$y_B= \sin \alpha $ e $x_B= \cos \alpha $ .
Sostituiamo $ \sin \alpha $ e $ \cos \alpha $ nell’ espressione della tangente:
$$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$$
Questa è la seconda relazione fondamentale della goniometria: la tangente di un angolo è data dal rapporto, quando esiste, fra il seno e il coseno dello stesso angolo.
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