La funzione inversa $y=\sin x$
Una funzione è invertibile, ossia ammette la funzione inversa, solo se è biiettiva.
La funzione $y=\sin x$ non è biiettiva perché non è iniettiva. Infatti, se consideriamo una retta $y=k$, parallela all’asse x, con $-1\leq k\leq 1$, essa interseca il grafico della funzione seno in infiniti punti, quindi ogni valore del codominio [-1;1] di $y= \sin x$ è immagine di infiniti valori del dominio R.
Se restringiamo il dominio della funzione seno all’intervallo $[-\frac{\Pi }{2} ;\frac{\Pi }{2}]$ , la funzione $y=\sin x$ risulta biiettiva e dunque invertibile.
La funzione inversa del seno si chiama arcoseno.
DEFINIZIONE
Dati i numeri reali x e y, con
$-1\leq x \leq 1$ e $ \frac{\Pi }{2} \leq y \leq \frac{\Pi }{2} $
diciamo che y è l’arcoseno di x se x è il seno di y.
Scriviamo: $y=\arcsin x$ .
Per ottenere il grafico della funzione $y=\arcsin x$ , basta costruire il simmetrico rispetto alla bisettrice del I e III quadrante del grafico della funzione $y=\sin x$, considerata nell’intervallo $[-\frac{\Pi }{2} ;\frac{\Pi }{2}]$ .
La funzione inversa $y=\cos x$
Se consideriamo $[0;\Pi ]$ come dominio, la funzione coseno è biiettiva e quindi invertibile.
La funzione inversa del coseno si chiama arcocoseno.
DEFINIZIONE
Dati i numeri reali x e y, con
$-1\leq x \leq 1$ e $ 0 \leq y \leq \pi$
diciamo che y è l’arcocoseno di x se x è il coseno di y.
Scriviamo: $y=\arccos x$ .
La funzione inversa $y=\tan x$
Se consideriamo $ (-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2}) $ come dominio, la funzione tangente è biiettiva e quindi invertibile.
La funzione inversa del coseno si chiama arcotangente.
DEFINIZIONE
Dati i numeri reali x e y, con $x \epsilon R$
-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}
diciamo che y è l’arcotangente di x se x è la tangente di y.
Scriviamo: $y=\arctan x$ .
La funzione inversa $y=\cot x$
La funzione inversa del coseno si chiama arcocotangente.
DEFINIZIONE
Dati i numeri reali x e y, con $x \epsilon R$
$0\lt y\lt \pi $
diciamo che y è l’arcocotangente di x se x è la cotangente di y.
Scriviamo: y=arccotan x.
INDICE