Nel triangolo ABC la bisettrice dell'angolo in C incontra il lato AB nel punto P tale che PB=70 cm. Sapendo che AB^C=40∘ e AC^B=80∘, calcola perimetro e area del triangolo.
Nel triangolo ABC la bisettrice dell'angolo in C incontra il lato AB nel punto P tale che PB=70 cm. Sapendo che AB^C=40∘ e AC^B=80∘, calcola perimetro e area del triangolo.
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Gli angoli sono definiti in figura!
Vale per il triangolo ABC il Th dei Seni:
a/SIN(α) = b/SIN(β) = c/SIN(γ)
avendo posto con le solite convenzioni:
a=BC; b=AC; c=AB
Il rapporto fra i lati a e b quindi vale:
a/b = SIN(α)/SIN(β) = SIN(60°)/SIN(40°) = 1.347296355
Tale rapporto per il Teorema della bisettrice è anche pari a:
a/b = ΒΡ/ΑΡ-----> ΑP = ΒΡ/(a/b) =70/1.347296355
quindi: AP=51.95590394= 51.956 cm (arrotondato)
c = ΑΒ = 51.956 + 70 = 121.956 cm
Quindi sfruttando il th dei seni:
a = c·SIN(α)/SIN(γ) = 121.956·SIN(60°)/SIN(80°)
a = 107.246 cm (arrotondato)
b = c·SIN(β)/SIN(γ)= 121.956·SIN(40°)/SIN(80°)
b = 79.601 cm (arrotondato)
2·p = perimetro= a + b + c = 308.803 cm
p = 154.4015 cm = semiperimetro
Quindi area con formula di Erone:
Α = √(p·(p - a)·(p - b)·(p - c))
Α = √(154.4015·(154.4015 - 107.246)·(154.4015 - 79.601)·(154.4015 - 121.956))
Α = 4203.600361---> A = 4203,6 cm^2
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Genius III
@lucianop 👍👌👍 Felice weekend, mio caro amico !!
Nel triangolo ABC la bisettrice dell'angolo in C incontra il lato AB nel punto P tale che PB = 70 cm. Sapendo che AB^C = 40° ed AC^B = 80°, calcola perimetro 2p ed area A del triangolo.
teorema dei seni applicato al triangolo isoscele PBC
PC = PB = 70 cm
sin 40°/70 = sin 100°/BC
BC = 70*sin 100°/sin 40° = 107,25 cm
teorema dei seni applicato al triangolo PAC
sin 60°/70 = sin 80°/AC
AC = 70*sin 80°/sin 60° = 79,60 cm
AP = 70*sin 40°/sin 60° = 51,95 cm
AB = AP+PB = 70+51,95 = 121,95 cm
altezza CH = AC*sin 60° = 79,60*0,866 = 68,94 cm
perimetro 2p = AB+BC+AC = 121,95+107,25+79,60 = 308,80 cm
area A = AB*CH/2 = 121,95*68,94/2 = 4.203,6 cm^2
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