Sistema di 4 grado

{x^2 + y^2 = 25

{y = (x - 5)^2

Ammette due soluzioni reali e due complesse:

[x = 3 ∧ y = 4, x = 5 ∧ y = 0, x = 6 + 2·i ∧ y = -3 + 4·i, x = 6 - 2·i ∧ y = -3 - 4·i]

--------------------------------

Dalla 1^: y^2 = 25 - x^2

Eleviamo al quadrato la seconda:

y^2 = (x - 5)^4

(operazione che necessita di verifica sulle eventuali soluzioni che si otterranno)

Per confronto:

25 - x^2 = (x - 5)^2

(x + 5)·(5 - x) = (x - 5)^2

Verificata per x = 5 ∨ x = 0

Per x= 5:

y = (5 - 5)^2----> y = 0

che verifica il sistema iniziale:

{5^2 + y^2 = 25

{y = (5 - 5)^2

Quindi (5,0) è una soluzione.

Per x=0:

{0^2 + y^2 = 25------> y = -5 ∨ y = 5

{y = (0 - 5)^2--------> y = 25

Il sistema non è verificato!

Procediamo per sostituzione:

x^2 + ((x - 5)^2)^2 = 25

x^2 + (x^2 - 10·x + 25)^2 = 25

x^4 - 20·x^3 + 151·x^2 - 500·x + 600 = 0

Abbassiamo di grado sapendo che x ) 5 è una soluzione

(x^4 - 20·x^3 + 151·x^2 - 500·x + 600)/(x - 5) =

=x^3 - 15·x^2 + 76·x - 120

Quindi cerchiamo uno zero del quadrinomio trovato: se prendiamo x=3 (ed in corrispondenza y=4 in modo tale che 3^2+4^2=25 otteniamo verificate le 2 equazioni poste. In ogni caso:

3^3 - 15·3^2 + 76·3 - 120 = 0

Quindi il quadrinomio si può dividere per (x-3)

(x^3 - 15·x^2 + 76·x - 120)/(x - 3) = x^2 - 12·x + 40

Ci si ferma qui in quanto  il discriminante è <0-

 

 

159;

Sistema;

xy = 2;  (1)

y = x^2 - 2x + 1;  (2)

 

xy = 2;  (1)

y = (x - 1)^2;  (2)  quadrato di binomio.

 

Sostituiamo la (2) nella  (1) :

x (x - 1)^2 = 2;  (1)

x (x^2 - 2x + 1) - 2 = 0;  (1)

risolviamo la  (1);

x^3 - 2x^2 + x - 2 = 0;   raccogliamo a fattori parziali:

x^2 (x - 2) + (x - 2) = 0;   (1) raccogliamo (x - 2);

(x - 2) (x^2 + 1) = 0;

x - 2 = 0;

x = 2; 

2 y = 2;

y = 1;prima soluzione; 

x^2 + 1 = 0; se x^2 = - 1; impossibile; 

(x^2 + 1) non si annulla, sempre positivo;

una sola soluzione reale:  x = 2; y = 1.

Ciao  @hatoma

 

 

160) (x^2 + y^2 = 25) & (y = (x - 5)^2) ≡
≡ (y^2 = 25 - x^2) & (y^2 = (x - 5)^4) ≡ NB: la quadratura può introdurre soluzioni spurie, serve la verifica.
≡ (y^2 = 25 - x^2) & (y^2 = (x - 5)^4)
da quest'ultima forma si ha la risolvente
* (x - 5)^4 - (25 - x^2) = 0 ≡
≡ x^4 - 20*x^3 + 151*x^2 - 500*x + 600 = 0
che, se ha zeri razionali, li ha tutti e soli fra i 48 divisori del termine noto
* {± 1, ± 2, ± 3, ..., ± 200, ± 300, ± 600}
con qualche valutazione fra i vicini dello zero, nella forma economica (solo tre moltiplicazioni)
* p(x) = (((x - 20)*x + 151)*x - 500)*x
si trova che
* p(3) = p(5) = 600
da cui la scomposizione
* (x - 3)*(x - 5)*(x^2 - 12*x + 40) = (x - 3)*(x - 5)*(x - (6 - 2*i))*(x - (6 + 2*i))
che individua le soluzioni reali
* (x = 3) & (y = 4) oppure (x = 5) & (y = 0)
le quali, provenendo dalle valutazioni di p(x), non possono essere spurie; e le soluzioni complesse
* (x = 6 - 2*i) & (y = - 3 - 4*i) oppure (x = 6 + 2*i) & (y = - 3 + 4*i)
sulle quali invece occorre la verifica (ma te ne lascio tutto il piacere).