[Risolto] Trapezio isoscele circoscritto

Circonferenza con centro C(0,2) e raggio r=1

Questo comporta due rette tangenti alla circonferenza con equazioni:

y=1 su cui ci sarà la base maggiore del trapezio isoscele

y=3 su cui ci sarà la base minore del trapezio isoscele

Un lato obliquo sarà appartenente alla retta:  y = 2·x + q

Quindi mettiamo a sistema:

{x^2 + (y - 2)^2 = 1

{y = 2·x + q

Quindi procediamo con sostituzione:

x^2 + ((2·x + q) - 2)^2 = 1

facendo i dovuti calcoli otteniamo:

5·x^2 + 4·x·(q - 2) + (q^2 - 4·q + 3) = 0

Imponiamo la condizione di tangenza:

Δ/4 = 0

(2·(q - 2))^2 - 5·(q^2 - 4·q + 3) = 0

- q^2 + 4·q + 1 = 0----> q^2 - 4·q - 1 = 0

risolvo ed ottengo: q = 2 - √5 ∨ q = √5 + 2

(scarto la prima)

Quindi metto a sistema:

{y = 2·x + (√5 + 2)

{y = 3

Risolvo ed ottengo:[ x = 1/2 - √5/2 ∧ y = 3]

ed ho il primo punto

{y = 2·x + (√5 + 2)

{y = 1

Risolvo ed ottengo: [x = - √5/2 - 1/2 ∧ y = 1]

ed ho il secondo punto

Gli altri due punti avranno stessa ordinata ma ascisse opposte.

La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + (y - 2)^2 = 1
di centro C(0, 2) e raggio r = 1 ha tangenti parallele all'asse x, (y = 1) oppure (y = 3), che insieme formano la parabola degenere y^2 - 4*y + 3 = 0.
Mentre le basi si sono trovate ictus oculi, per le tangenti dei fasci
* t1(q) ≡ y = q + 2*x
* t2(q) ≡ y = q - 2*x
serve qualche calcoletto.
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Il sistema
* t1(q) & Γ ≡ (y = q + 2*x) & (x^2 + (y - 2)^2 = 1)
ha risolvente
* x^2 + (q + 2*x - 2)^2 - 1 = 0 ≡
≡ 5*x^2 + 4*(q - 2)*x + (q^2 - 4*q + 3) = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(q) = - 4*(q^2 - 4*q - 1) = 0 ≡
≡ (q = 2 - √5) oppure (q = 2 + √5)
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Analogamente da
* t2(q) & Γ ≡ (y = q - 2*x) & (x^2 + (y - 2)^2 = 1)
si ha
* Δ(q) = - (q^2 - 4*q - 1) = 0 ≡
≡ (q = 2 - √5) oppure (q = 2 + √5)
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Pertanto il problema è indeterminato potendo legittimamente avere due trapezi isosceli che soddisfanno ad entrambe le specificazioni.
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Uno ha i lati obliqui sulle rette
* t1(2 - √5) ≡ y = 2 - √5 + 2*x
* t2(2 - √5) ≡ y = 2 - √5 - 2*x
che insieme formano l'iperbole degenere 4*x^2 - y^2 - 2*(√5)*y + 4*y + 4*√5 - 9 = 0.
Le richieste coordinate dei vertici sono le soluzioni reali del sistema fra le due coniche degeneri
* (y^2 - 4*y + 3 = 0) & (4*x^2 - y^2 - 2*(√5)*y + 4*y + 4*√5 - 9 = 0) ≡
≡ (± √(3/2 - √5/2), 1) oppure (± √(3/2 + √5/2), 3)
cioè
* A(- √(3/2 - √5/2), 1), B(√(3/2 - √5/2), 1), C(√(3/2 + √5/2), 3), D(- √(3/2 + √5/2), 3)
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%28-%E2%88%9A%283%2F2-%E2%88%9A5%2F2%29%2C1%29%2C%28%E2%88%9A%283%2F2-%E2%88%9A5%2F2%29%2C1%29%2C%28%E2%88%9A%283%2F2--%E2%88%9A5%2F2%29%2C3%29%2C%28-%E2%88%9A%283%2F2--%E2%88%9A5%2F2%29%2C3%29
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L'altro, seguendo quanto sopra come falsariga, te lo determini da te, vero?