[Risolto] Circonferenza inscritta in un triangolo

Triangolo rettangolo isoscele di lati:

√(1^2 + 3^2) = √10 ipotenusa

√(2^2 + 1^2) = √5 cateto

perimetro=2·p = 2·√5 + √10

area= Α = 1/2·√5^2

La circonferenza inscritta ha raggio r:

5/2 = 1/2·(2·√5 + √10)·r------> r = √5 - √10/2

r^2 = 15/2 - 5·√2

L'equazione è del tipo:

(x - α)^2 + (y - β)^2 = 15/2 - 5·√2

con le coordinate del centro da determinare imponendo l'equidistanza da 2 lati del triangolo assegnato.

Prendiamo come lati:

y = 3·x------> 3·x - y = 0

y = 1/2·x----> x - 2·y = 0

[α, β] centro circonferenza

Quindi:

{√5 - √10/2 = ABS(3·α - β)/√(3^2 + (-1)^2)

{√5 - √10/2 = ABS(α - 2·β)/√(1^2 + (-2)^2)

Quindi:

{√5 - √10/2 = √10·ABS(3·α - β)/10

{√5 - √10/2 = √5·ABS(α - 2·β)/5

se lo risolvi ottieni:

{α = 3·√2/2 - 1 

{β = 2 - √2/2

 

 

L'incentro di un triangolo divide ciascuna bisettrice in due segmenti che stanno fra loro come i lati del vertice stanno alle rispettive porzioni evidenziate dalla stessa sul lato opposto.
Perciò per un triangolo rettangolo isoscele l'incentro è a metà della bisettrice dell'angolo retto in B (cioè dell'altezza di B su AC) e l'inraggio è metà di tale altezza.
Purtroppo per te non ho la pazienza dattilografica di trascriverti i conti che derivano dall'infelice scelta delle coordinate di A e B (un sacco di gente assegna esercizi senza prima averli risolti!) così ti devi accontentare della sola equazione dell'incerchio
* (x - (√5 + 2*√10)/(2*√5 + √10))^2 + (y - (3*√5 + √10)/(2*√5 + √10))^2 = 15/2 - 5*√2
senza i passaggi da cui arriva.