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[Risolto] Circonferenza tangente ai due assi cartesiani

  

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Determinare per quale valore di k€R si ha la circonferenza del fascio x^2+y^2+kx+ (k-2)y -1=0 tangente ai due assi cartesiani.

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Ogni circonferenza tangente a entrambi gli assi coordinati ha centro C(± c, ± c) sulle diagonali dei quadranti e raggio r = |c|; per ogni c ∈ R ci sono quattro di tali circonferenze.
Portando a forma standard il fascio dato in forma canonica
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + k*x + (k - 2)*y - 1 = 0 ≡
≡ (x + k/2)^2 + (y + k/2 - 1)^2 = (k^2 - 2*k + 4)/2 >= 3/2 > 0
se ne leggono le proprietà geometriche
* centro C(- k/2, 1 - k/2)
* raggio r = √((k^2 - 2*k + 4)/2) >= √(3/2) > 0
sulle quali si possono applicare le condizioni dette sopra.
* r = |- k/2| = |1 - k/2| ≡ k = 1
da cui
* Γ(1) ≡ x^2 + y^2 + x - y - 1 = 0



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SOS Matematica

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