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[Risolto] Studio funzione

  

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Data la funzione: $f(x)=k x-3 x^{3}$
a. Determinare il parametro $k$ affinché la funzione abbia minimo nel punto di ascissa $-\frac{\sqrt{2}}{3}$;
b. Si tracci il grafico della funzione, dopo aver sostituito il valore del parametro $k$ ottenuto nel punto a.;
c. Siano A e B i punti del grafico in comune con l'asse delle ascisse diversi dall'origine e M il punto di massimo. Calcolare l'area del triangolo ABM.
d. Trovare le equazioni delle rette $t_{A}$ e $t_{O}$ tangenti a $f(x)$ nei punti A e O;
e. Determinare l'angolo (acuto) formato dalle rette $t_{A}$ e $t_{O}$ con la formula $\tan \gamma=\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}$

 

Qualcuno che mi spiega questi passaggi passaggio per passaggio? Grazie mille

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Ciao @Francesca23!

Data la funzione $f(x)=kx -3x^3$

determinare il parametro k affinché la funzione abbia minimo nel punto di ascissa $-\frac{sqrt{2}}{3}$

Per il teorema di Fermat, nei punti di minimo la derivata prima è nulla.

La derivata della funzione è:

$f'(x) = k-9x^2$

Chiediamo dunque che per $x=-\frac{sqrt{2}}{3}$ si abbia $f'(x)=0$:

$0= k-9(-\frac{sqrt{2}}{3})^2$

$0=k-9(\frac{2}{9})$

$k=2$

Si tracci il grafico della funzione

La funzione, trovato k, sarà dunque:

$f(x)= 2x -3x^3$

Studiamo la funzione:

- Il dominio della funzione è tutto R

- Studiamo il segno della funzione:

$2x -3x^3 >0$

$x(2-3x^2)>0$

Studiando il segno dei due fattori:

$x>0$

$2-3x^2 >0$ -> $x^2 < 2/3$ -> $ -\sqrt{2/3}<x<\sqrt{2/3}$

Da cui otteniamo, attraverso lo studio dei segni, che la funzione risulta essere positiva per $x<-\sqrt{2/3}$ o $0<x<\sqrt{2/3}$.

Le intersezioni con gli assi sono quindi $(\pm \sqrt{2/3},0)$ e $(0,0)$ (le soluzioni già ottenute dallo studio dei segni).

Passiamo agli asintoti:

- Asintoti verticali non ne abbiamo (il dominio è tutto R, la funzione è continua)

- Asintoti orizzontali non ne abbiamo perché:

$lim_{x\rightarrow \pm \infty} 2x-3x^3 = \pm \infty$

- Asintoti obliqui neanche:

$lim_{x\rightarrow \pm \infty} \frac{2x-3x^3}{x} = \pm \infty$

Passiamo alla deriva prima:

$f'(x)=2-9x^2$

Studiamone il segno per avere monotonia ed estremi:

$2-9x^2 \geq 0$

$x^2 \leq 2/9$

$ -\sqrt{2}/3 \leq x \leq \sqrt{2}/3$

Dunque La funzione è crescente nell'intervallo sopra indicato con un minimo in $x=-\sqrt{2}/3$ e un massimo in $x=\sqrt{2}/3$.

 

Per completezza vediamo che la derivata seconda è:

$f''(x)= -18x$

Studiandone il segno:

$-18x \geq 0$ -> $x<0$

Dunque la concavità è verso l'alto per $x<0$ e verso il basso per $x>0$ con un flesso in $x=0$

Siano A e B in punti del grafico in comune con l'asse delle ascisse diversi dall'origine e M il punto di massimo. Calcolare l'area del triangolo ABM

Immagine 2022 06 25 114644

Abbiamo già che:

$A=(-\sqrt{2/3},0)$

$B=(\sqrt{2/3},0)$

e inoltre che il massimo si trova in $x=\sqrt{2}/3$. Il punto di massimo avrà dunque:

y=2(\sqrt{2}/3}-3{\sqrt{2}/3}^3 = 2\sqrt{2}/3 -2\sqrt{2}/9 = 4\sqrt{2}/9$

Poiché la base del triangolo è:

$AB=|x_a - x_B| = |-\sqrt{2/3}-\sqrt{2/3}| = 2\sqrt{2/3} = 2\sqrt{6}/3$

mentre l'altezza MH è semplicemente l'ordinata di M, avremo:

$Area= \frac{2\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{27}$

Trovare le equazioni delle rette tangenti a f(x) nei punti A e O

La retta tangente a f(x) ha equazione:

$y-f(x_0) = m(x_0)(x-x_0)$

Nel punto $A=(-\sqrt{2/3},0)$ la derivata vale:

$f'(A)= 2-9(\sqrt{2/3})^2 = 2-9(2/3)= 2-6 = -4$

Dunque la tangente è:

$t_A: y= -4(x+\sqrt{2/3})$

Invece in O:

$f'(0)=2$

da cui

$t_O: y=2x$

Determinare l'angolo acuto formato dalle rette tA e tO

Il testo ci fornisce già la formula, che nel nostro caso è:

$tan \gamma = \frac{m_A-m_O}{1+m_A m_O}$

dove $m_A=-4$ e $m_O=2$, dunque:

$tan \gamma = \frac{-4-2}{1-8} = \frac{6}{7}$

se vogliamo calcolare l'angolo in gradi:

$\gamma = arctan(6/7) \approx 40.6°$

 

Ciao!

Noemi




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Cara Francesca, devi ASSOLUTAMENTE aggiornare la terminologia.
In un qualunque esame, l'osservazione "Non sa nemmeno come si chiamano le cose!" è il bacio della morte: bocciatura garentita subito; un "Bene così, può accomodarsi." senza nemmeno farti finire di parlare.
La foto che pubblichi riproduce un tema d'esame (o, almeno, di una verifica lunghetta) i cui punti da "a" ad "e" sono "còmpiti" o "consegne", non "passaggi".
I "passaggi" sono o i passi logici di una procedura o, nel calcolo risolutivo di un'equazione, ciascuna delle riscritture di forme equivalenti che conducono a isolare una variabile.
------------------------------
La prima consegna chiede di particolarizzare il fascio di cubiche
* Γ(k) ≡ f(x) = y = k*x - 3*x^3 = 3*(k/3 - x^2)*x
trovando il valore di k per cui si ha il minimo relativo in x = - √2/3.
I passaggi necessarii e sufficienti ad osservare la consegna sono:
* rammentare la condizione di minimo relativo (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0)
* calcolare le due prime derivate
* risolvere il sistema della condizione sostituendovi x = - √2/3
---------------
* f'(x) = k - 9*x^2
* f''(x) = - 18*x
* (k - 9*x^2 = 0) & (- 18*x > 0) ≡
≡ (x = ± √k/3) & (x < 0) ≡
≡ x = - √k/3
da cui
* - √2/3 = - √k/3 ≡ k = 2
e infine la cubica richiesta
* Γ(2) ≡ f(x) = y = 2*x - 3*x^3 = 3*(2/3 - x^2)*x
------------------------------
La seconda consegna chiede di graficare Γ(2) ≡ f(x) = y = 3*(2/3 - x^2)*x
ed è quanto meno prematura, non avendo ancora chiesto almeno: l'altro estremo (un massimo relativo in x = √2/3), il flesso nell'origine a tangente obliqua y = 2*x, i valori estremi y = ± (4/9)*√2, gli zeri per x in {0, ± √(2/3)}; tutte informazioni indispensabili al tracciamento del grafico.
Vedi il grafico e i punti notevoli nei paragrafi "Plot of solution set" e "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D3*%282%2F3-x%5E2%29*x%2C%2881*y%5E2-32%29*%282*x-y%29*x*y%3D0%5D
------------------------------
E' solo nella terza consegna che quel cretino dell'autore si ricorda che avrebbe dovuto chiedere gli zeri
* A(- √(2/3), 0), B(+ √(2/3), 0)
e il massimo relativo
* M(√2/3, (4/9)*√2)
Poi chiede anche l'area S del triangolo ABM
* (xB - xA)*(yM - 0)/2 = (2*√(2/3))*((4/9)*√2)/2 = 8/(9*√3)
------------------------------
Nella quarta consegna l'ineffabile si ricorda che avrebbe dovuto chiedere la tangente di flesso nell'origine
* t(O) ≡ y = 2*x
e chiede anche quella nello zero sinistro
* t(A) ≡ y = (x - xA)*f'(xA) ≡
≡ y = (x + √(2/3))*(2 - 9*2/3) ≡
≡ y = - (4*x + 4*√(2/3))
------------------------------
E' solo nella quinta e ultima consegna che si ritorna alla dignità della prima chiedendo
* di riconoscere che la pendenza m è la tangente trigonometrica dell'inclinazione θ
* di rammentare la formula di sottrazione delle tangenti tg(α - β) = (tg(α) - tg(β))/(1 + tg(α)*tg(β))
* di applicarla al calcolo di
** γ = (θ(A) - θ(O)) = arctg((m(A) - m(O))/(1 + m(A)*m(O))) =
= arctg((- 4 - 2)/(1 + (- 4)*2)) =
= arctg(6/7) ~= 0.7086 rad ~= 40° 36' 4.661''




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