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[Risolto] Studio funzione polinomiale

  

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Sia $g$ la funzione cosi definita:
$$
g(x)=x^3(x+2)
$$
a. Studia la funzione. Indica con $\Gamma$ il grafico corrispondente. Rappresenta $\Gamma$ dopo averne individuato le principali caratteristiche.
b. Trova l'equazione della retta $t$ tangente a $\Gamma$ in $F$, le coordinate del punto $A$, ulteriore intersezione tra $\Gamma$ e la retta $t$.
c. Calcola le coordinate del punto $B$, appartenente all'arco FA e distinto da $F$, tale che la tangente a $\Gamma$ in $B$ sia parallela a $t$.

Qualcuno riesce a fare almeno un punto tra questi spiegando i passaggi? Ne ho urgente bisogno 

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Intanto il grafico:

image

Funzione razionale intera di 4° grado:

y = x^3·(x + 2)------> y = x^4 + 2·x^3

Nessuna particolarità

C.E. ]-inf;+inf[

Intersezioni con gli assi:

{y = x^3·(x + 2)

{y = 0

quindi: [x = 0 ∧ y = 0, x = -2 ∧ y = 0]

Con l'asse y: O(0,)

Segno funzione:

x^3·(x + 2) > 0------> x < -2 ∨ x > 0

x^3·(x + 2) < 0-------> -2 < x < 0

Condizioni agli estremi del C.E. (limiti):

LIM(x^3·(x + 2)) = +∞

x-----> -∞

anche:

LIM(x^3·(x + 2)) = +∞

x-----> +∞

La funzione, essendo di 4° grado ed il coefficiente di grado massimo pari, è illimitata superiormente, di conseguenza essendo continua, assieme alle sue derivate, risulta limitata inferiormente e quindi presenta sicuramente un minimo assoluto.

Come per le altre funzioni polinomiali non ci sono quindi asintoti.

Calcolo prime derivate:

y' = 2·x^2·(2·x + 3)

y'' = 12·x·(x + 1)

Studio crescenza e decrescenza:

y'>0-------> 2·x^2·(2·x + 3) > 0

se x ≠ 0 ∧ x > - 3/2

y'<0-------> 2·x^2·(2·x + 3) < 0

se x < - 3/2

y'=0------> 2·x^2·(2·x + 3) = 0

se x = - 3/2 ∨ x = 0

per x=-3/2 si ha un minimo assoluto e relativo; per x=0 un flesso a tangente orizzontale

y = (- 3/2)^3·(- 3/2 + 2)------> y = - 27/16

Concavità e convessità

y''>0-----> 12·x·(x + 1) > 0

se x < -1 ∨ x > 0  :concavità verso l'alto

y''<0 -----> 12·x·(x + 1) < 0

se -1 < x < 0 : concavità verso il basso

y''=0-----> 12·x·(x + 1) = 0

se x = -1 ∨ x = 0

per x=-1 punto di flesso F di ordinata:

y = (-1)^3·(-1 + 2)-----> y = -1 quindi F(-1,-1)

Retta tangente in F.

y+1= m(x+1)

con m=2·(-1)^2·(2·(-1) + 3)= 2

Quindi retta t: y + 1 = 2·(x + 1)-----> y = 2·x + 1

Intersezione con la funzione:

{y = 2·x + 1

{y = x^3·(x + 2)

si ottiene: (x = -1 ∧ y = -1) ∨ (x = 1 ∧ y = 3)

Quindi A(1,3)

Per l'ultimo punto:

2·x^2·(2·x + 3)=2

x = 1/2 ∨ x = -1

Quindi B ha ascissa x=1/2 ed ordinata

y = (1/2)^3·(1/2 + 2)= 5/16

B(1/2,5/16)

y-5/16=2(x-1/2)------> y = 2·x - 11/16

 

 

 

 

 

 

 

@lucianop 👍👍



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Data la funzione g definita dal polinomio quartico y
* g(x) = y = (x + 2)*x^3
e graficata dalla curva Γ si chiede di eseguire le seguenti consegne.
a1) Individuare le principali caratteristiche di g.
a2) Rappresentare Γ.
b1) Trovare la retta t, tangente Γ in F (F??? Ecchedè? 'a Maronn' 'o sape!).
b2) trovare A, intersezione fra t e Γ.
c) Individuare sull'arco FA il punto B != F punto di tangenza di una parallela a t.
------------------------------
a1) Individuare le principali caratteristiche di g.
Ogni polinomio di grado n in x è definito sull'intero asse x; va all'infinito al crescere del modulo di x (quindi non ha estremi assoluti), nello stesso verso se n è pari o in versi opposti se n è dispari, e il verso dipende dal segno del coefficiente direttore.
---------------
Dall'equazione e dalle sue due prime derivate
* y = (x + 2)*x^3
* y' = 2*(2*x + 3)*x^2
* y'' = 12*(x + 1)*x
si trovano le proprietà caratteristiche.
---------------
Da
* y = (x + 2)*x^3 = 0
si hanno
* x = - 2, uno zero semplice (Γ interseca l'asse x)
* x = 0, uno zero triplo (Γ tange e interseca l'asse x: ha un flesso.)
---------------
Da
* y' = 2*(2*x + 3)*x^2 = 0
si trovano i punti critici (estremi relativi o flessi orizzontali)
* x = - 3/2, uno zero semplice (Γ ne ha uno in (- 3/2, - 27/16))
* x = 0, uno zero doppio (Γ ne ha un'altro nell'origine)
---------------
Da
* y'' = 12*(x + 1)*x = 0
si trovano i punti di flesso (con pendenza della tangente eguale ad y') nei due zeri semplici
* x = - 1 ((- 1, - 1), con tangente y = 2*x + 1)
* x = 0 (con tangente y = 0)
---------------
NB: nel seguito ipotizzo che il misterioso punto F sia il flesso a tangente obliqua
* F(- 1, - 1)
------------------------------
a2) Rappresentare Γ.
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%28x--2%29*x%5E3%2Cy%3D2*x--1%5Dx%3D-4to4%2Cy%3D-4to4
------------------------------
b1) Trovare la retta t, tangente Γ in F(- 1, - 1).
* t ≡ y = 2*x + 1 (vedi sopra)
------------------------------
b2) trovare A, intersezione fra t e Γ.
* t & Γ ≡ (y = 2*x + 1) & (y = (x + 2)*x^3) ≡
≡ F(- 1, - 1) oppure A(1, 3)
------------------------------
c) Individuare sull'arco FA il punto B != F punto di tangenza di una parallela a t.
---------------
L'arco FA privo di F è
* (y = (x + 2)*x^3) & (- 1 < x <= 1)
---------------
Il fascio delle parallele a t è
* p(q) ≡ y = 2*x + q
---------------
Il sistema dei punti comuni è
* p(q) & "arco FA privo di F" ≡
≡ (y = 2*x + q) & (y = (x + 2)*x^3) & (- 1 < x <= 1)
con risolvente
* ((x + 2)*x^3 - (2*x + q) = 0) & (- 1 < x <= 1)
e discriminante
* Δ(q) = - 256*(q + 11/16)*(q - 1)^2
che, per la tangenza, deve azzerarsi.
---------------
Da
* ((q + 11/16)*(q - 1)^2 = 0) & (- 1 < x <= 1)
si trovano le intercette delle tangenti
* q = - 11/16 (di t' nel punto B)
* q = 1 (di t nel punto F)
da cui
* p(- 11/16) ≡ y = 2*x - 11/16
---------------
Infine risolvendo
* (y = 2*x - 11/16) & (y = (x + 2)*x^3) ≡
≡ B(1/2, 5/16) oppure (punti complessi, irrilevanti per Γ)
si soddisfà all'ultima consegna.
Vedi il grafico e il paragrafo "Real solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%28x--2%29*x%5E3%2C%282*x--1-y%29*%282*x-11%2F16-y%29%3D0%5D

 

@exprof 👍👍👍



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