[Risolto] Funzione analisi

Ciao!

Se la funzione è $ \frac{x-2}{x+4} $ il grafico nella foto è solo un pezzo! ce n'è un'altro simmetrico prima di $x = -4 $

comunque, analiticamente il dominio è $denominatore \neq 0 $:
$x \neq -4 $ 

quindi il dominio è $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$. 

Infatti nel grafico l'unico punto "in cui non c'è la funzione" è proprio $x = -4$, dove c'è un asintoto verticale, che è l'unico punto di discontinuità.

La concavità invece è positiva per $ x < -4 $ (perché fa una "conca") mentre è negativa per $x > -4 $ (perchè fa un "arco").

Analiticamente bisogna studiare il segno della derivata seconda:

$f'(x) = \frac{2}{(x+4)^2} $

$f''(x) = \frac{-4}{(x+4)^3}$

Studiamo il segno: $\frac{-4}{(x+4)^3} > 0 $

studiamo separatamente numeratore (N) e denominatore (D)

$N > 0 $ $-4 > 0 $ mai 

$D > 0$ $(x+4)^3 > 0 $ $x+4 > 0 $ $x > -4 $

facciamo il grafico di segno:

      ____ -4 _______

N:  -                  -

D:  -                  +

___________________

      +                - 

 

Quindi la funzione ha concavità positiva quando $ x < -4 $ cioè nell'intervallo $(-\infty; -4)$ e la concavità è negativa per $x > -4$, cioè nell'intervallo $ (-4; + \infty)$

Certo!

Crescenza e decrescenza si ottengono studiando il segno della derivata prima: 

$f'(x) = \frac{2}{(x+4)^2}  \geq 0 $

separiamo numeratore e denominatore:
$N\geq 0$     $ 2 > 0 $ sempre vero

$D > 0$     $(x+4)^2 > 0$ sempre vero, tranne quando $x \neq -4 $

__________________ -4 ____________

N:   +                                      + 

D:   +                                       +  

________________________________

       +                                      +   

 

quindi la funzione è sempre crescente. Gli intervalli di crescenza sono: $(-\infty; -4) \cup (-4; + \infty)$

anche dal grafico si può notare che la funzione cresce, arriva a -4 dove ha asintoto verticale, e riparte "dal basso" a partire da -4 e ricomincia a crescere.