[Risolto] Sistema parametrico

Ciao.

Devi individuare a cosa corrisponde la prima funzione: è una semiellisse 

Il suo centro è C(1,0) asse minore su x con vertici: (0,0) , (2,0) e (1,-2)

La retta con parametro k:

y = k·(x - 3) - 2 che fa variare sia il coefficiente angolare  che l'ordinata all'origine:

y = k·x - 3·k - 2

Quindi l'equazione data determina un fascio proprio di rette con centro in A(3,-2)

E' facile riconoscere che per k>0 la retta è esterna alla semiellisse quindi nessuna soluzione.

Per k=0 retta y=-2 tangente alla semiellisse quindi due radici reali e coincidenti

Ci sono due radici reali e distinte sino alla retta limite per A ed O(0,0):

y=-2/3x quindi per - 2/3 ≤ k < 0

Una sola radice (una sola intersezione) sino alla retta limite y=-2x+4 quindi per

-2 ≤ k < - 2/3

ACCIPE RATUM (come disse Cassio Cherea a Caligola).
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L'esercizio due chiede, del sistema
* (y = k*(x - 3) - 2) & (y = - 2*√(2*x - x^2)) & (0 <= x <= 2) ≡
≡ (y = k*x - (3*k + 2)) & (((x - 1)/1)^2 + (y/2)^2 = 1) & (y <= 0) & (0 <= x <= 2)
di discutere, in funzione del parametro k reale, la reciproca posizione della semiellisse fissa
* Γ ≡ (((x - 1)/1)^2 + (y/2)^2 = 1) & (y <= 0)
di centro (1, 0) e vertici V1 e V3 (1, ± 2) V2 e V4 (1 ± 1, 0), rispetto alle rette del fascio
* r(k) ≡ y = k*(x - 3) - 2
che ha
* pendenza k
* intercetta q = - (3*k + 2)
* centro C(3, - 2)
* retta esclusa x = 3
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RISOLUZIONE
Il centro C(3, - 2) e il vertice inferiore V1(1, - 2) sono allineati sulla y = - 2.
Il centro C(3, - 2) e il vertice sinistro V4(0, 0) sono allineati sulla y = - (2/3)*x.
Il centro C(3, - 2) e il vertice destro V2(2, 0) sono allineati sulla y = 4 - 2*x.
Vedi il grafico col discrimine delle zone al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28%28x-1%29%2F1%29%5E2%3D1-%28y%2F2%29%5E2%2Cy%3D-2%2Cy%3D-%282%2F3%29*x%2Cy%3D4-2*x%5Dx%3D-1to4%2Cy%3D-3to0
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Dall'esame del grafico discende la richiesta distinzione di casi.
* k < - 2: zero punti comuni.
* - 2 <= k < - 2/2: un punto comune semplice.
* - 2/3 <= k < 0: due punti comuni distinti (r(k) è secante Γ).
* k = 0: un punto comune doppio (r(k) è tangente Γ).
* k > 0: zero punti comuni.