Ciao a tutti, mi son imbattuto in questo sistema che risulta impossibile ma a me continua venire determinato e non capisco dove sbaglio.
Ho avuto qualche difficoltà a scriverlo utilizzando latex quindi allego foto:
La mia domanda è, in quale passaggio si nota che il sistema è impossibile? Ho provato a svolgerlo più volte e giungo allo stesso risultato quindi si tratta di un errore di cui non sono conscio. ☹️
Donatemi la vista! ?
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Livello 1
IO NON USO LaTeχ, MA UNA NORMALE SINTASSI "da compilatore": scrivo tutto in ANSI-ISO con minime concessioni a UTF-8 (p.es. preferisco "<=" a "≤", "(insieme vuoto)" a "Ø", ma "√" a "sqrt()" e "π" a "pi") e credo le le mie espressioni siano interpretabili senza equivoci.
VENGO AL TUO QUESITO
L'errore di cui non sei stato conscio è stato di non aver presente che una frazione si può invertire (o sottoporre a qualsiasi operazione) se e solo se il denominatore non si annulla.
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Il sistema
* ((x - 2)*(y + 1) - (x - 1)*(y + 2) = 0) & (1/(15 - 4*y + x) = - 1/(15 - y + 4*x))
è definito in tutti i punti del piano esterni all'iperbole degenere
* (15 - 4*y + x)*(15 - y + 4*x) = 0
i cui punti azzerano almeno un denominatore.
Escluse quelle due rette si può semplificare il sistema in
* ((x - 2)*(y + 1) - (x - 1)*(y + 2) = 0) & (1/(15 - 4*y + x) = - 1/(15 - y + 4*x)) ≡
≡ (y = - x) & ((15 - 4*y + x) + (15 - y + 4*x) = 0) ≡
≡ (y = - x) & (y = x + 6) ≡
≡ (x = - 3) & (y = 3)
Poiché il punto P(- 3, 3) è il centro dell'iperbole esclusa
* (15 - 4*3 + (- 3))*(15 - 3 + 4*(- 3)) = 0 ≡
≡ (0)*(0) = 0
la conclusione è che il sistema ha per soluzione l'insieme vuoto, cioè la dichiarazione di essere incompatibile.
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Genius I
Spero di darti la vista ?
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Livello 7
@cenerentola grazie! Non mi è chiaro cos'hai fatto nella seconda equazione al secondo passaggio, che stregoneria è? ? haha
Io avevo portato il secondo membro a sinistra e calcolato il mcm, alla fine svolgendo i calcoli mi veniva $x-y=-6$. ?
La prima equazione è invece ok, stesso risultato.
@ILoveYou è stato fatto il minimo comune multiplo- calcoli a numeratore- tolto i denominatori, senza portare a sinistra il secondo membro. Il mcm è
(15-4y+x)(15-y+4x)
Ha detto bene Annastella!☺ scusami ILoveYou ma spesso faccio calcoli a mente e non penso che chi legge non possa seguire il mio ragionamento. Ti allego comunque la seconda equazioni in più passaggi
@cenerentola @annastellaT grazie. Ho fatto una cacchiata. ? I calcoli erano giusti, mancava l'ultimo passaggio in cui dovevo verificare la soluzione. Non avendolo fatto, non capivo perché il sistema fosse impossibile. Grazie mille ?
svolti un paio di facili passaggi si ha :
{30+5x-5y = 0 → y = (30+5x)/5 = 6+x
{2xy-x-y = 0
sostituendo, nella seconda, ad y il suo valore trovato dalla prima si arriva a :
3-5x-x^2 = 0
x = (5-√25+12)/-2 = 0,5414
y = x+6 = 6,5414
fatta la verifica, ti assicuro che torna !!!
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Genius II
