[Risolto] Funzione inversa.

Ciao!

Per vedere se una funzione ha inversa, possiamo vedere se è monotona nel suo dominio. Per vedere se è monotona il modo più semplice è calcolarne la derivata:

$f(x)  = e^x + \arctan(x) + x^3+1 $, che ha dominio $ D = \mathbb{R} $

La sua derivata è:

$f'(x) = e^x + \frac{ 1}{1+x^2}+3x^2 $

Studiamo il segno della derivata: 

$ f'(x) > 0 \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}$ perché è somma di termini strettamente positivi

Quindi la funzione è sempre strettamente crescente e dunque monotona e continua $\Rightarrow$ è invertibile in tutto il suo dominio. 

Per trovare $g'(2)$ non è necessario trovare l'espressione esplicita della funzione inversa (che sinceramente è abbastanza complesso a mio parere). Sappiamo però che, determinando l'inversa facciamo:

$ y = f(x) \rightarrow x = g'(y)$

Quindi se vogliamo trovare $g'(2)$ basta trovare quel valore di $x$ che fa sì che $ y = 2 $

quindi:

$2 = e^x + \arctan(x) + x^3 + 1 $

$1 = e^x + \arctan(x) + x^3 $

$ \Rightarrow x = 0 $ infatti $ 1 = e^0+\arctan(0)+0^3 = 1+0+0$

Dato che è invertibile, vi è un solo valore di $x$ che ci dà il risultato sperato, e dato che $x = 0$ va bene, non è necessario chiedersi se ne esistono altri perché non ne esistono.

Quindi $g'(2) = 0 $.

Grazie!!!!