[Risolto] matematica sistemi

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Ciao,

$\begin{cases}x(x-2)=y-1 \\y+4x=1\end{cases}$

 

Risolviamo con il metodo di sostituzione.

1. Scegliamo di ricavare l’incognita y dalla seconda equazione

$y=1-4x$

2. Sostituiamo l’espressione della y nella prima equazione, ottenendo :

$x(x-2)=1-4x-1$

risolviamo l' equazione rispetto all’incognita :

$x^2-2x=1-4x-1$

$x^2-2x+4x=0$

$x^2+2x=0$

$x(x+2)=$

$x=0 \vee x+2=0$

$x=0 \vee x=-2$

3. Sostituiamo il valore prima di x=0 e poi di x=-2 nella seconda equazione e troviamo i valori di y:

$y+4(0)=1$$\rightarrow$$y=1$

e

$y+4(-2)=1$$\rightarrow$$y-8=1$$\rightarrow$$y=1+8$$\rightarrow$$y=9$

 

Le soluzioni del sistema sono dunque:

$\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\vee\begin{cases}x=-2\\y=9\end{cases}$

 

 

$\begin{cases}x+y+z=0\\x-y=1 \\ x^2+xy-z=0\end{cases}$

Risolviamo con il metodo di sostituzione.

1. Scegliamo di ricavare l’incognita z dalla prima equazione

$z=-y-x $ (1)

2. Scegliamo di ricavare l’incognita y dalla seconda equazione

$-y=1-x$$\rightarrow$$y=x-1$  (2)

3. Sostituiamo i valori di z e y nella terza equazione:

$x^2+x(x-1)-(-y-x)=0$

$x^2+x^2-x-(-x+1-x)=0$

$2x^2-x+x-1+x=0$

$2x^2+x-1=0$

Risolviamo questa equazione di secondo grado :

$\Delta=1+8=9$

$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{4}=\frac{-1\pm3}{4}$

$x_{1}=\frac{-1-3}{4}=-\frac44=-1$

$x_{1}=\frac{-1+3}{4}=\frac24=\frac12$

4. Sostituiamo il valore prima di x=-1 e poi di x=1/2 nella (2) e troviamo i valori di y:

$y=-1-1$$\rightarrow$$y=-2$ 

$y=\frac1/2-1$$\rightarrow$$y=-frac12$ 

5. Sostituiamo i valori di x e y nella (1) e troviamo i valori di z:

$z=-(-2)-(-1)$$\rightarrow$$z=3$ 

$z=\frac1/2-\frac12$$\rightarrow$$z=0$ 

Le soluzioni del sistema sono dunque:

$ \begin{cases}x=-1\\y=-2\\ z=3 \end{cases}\vee\begin{cases}x=\frac12\\y=-\frac12 \\z=0\end{cases}$

 

 

saluti ? 

La procedura risolutiva di un sistema di grado due è come segue.
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A) Calcolare una opportuna soluzione del subsistema lineare.
A1) y + 4*x = 1 ≡ y - 1 = - 4*x
A2) (x + y + z = 0) & (x - y = 1) ≡ (y = x - 1) & (z = 1 - 2*x)
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B) Sostituire la soluzione calcolata nell'unica equazione di grado due e ridurre la forma ottenuta alla sua forma canonica monica "x^2 - s*x + p = 0".
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B1) (y - 1 = - 4*x) & (x*(x - 2) = y - 1) →
→ x*(x - 2) = - 4*x ≡ x^2 + 2*x = 0
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B2) (y = x - 1) & (z = 1 - 2*x) & (x^2 + x*y - z = 0) →
→ x^2 + x*(x - 1) - (1 - 2*x) = 0 ≡
≡ 2*x^2 + x - 1 = 0 ≡
≡ x^2 + x/2 - 1/2 = 0
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C) Calcolare le radici.
C1) x^2 + 2*x = 0 ≡ (x + 2)*x = 0 ≡ (x = - 2) oppure (x = 0)
C2) x^2 + x/2 - 1/2 = 0 ≡ (x + 1)*(x - 1/2) ≡ (x = - 1) oppure (x = 1/2)
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D) Per ciascuna radice, retrosostituire nelle equazioni lineari.
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D1) (x = - 2) & (y = 9) oppure (x = 0) & (y = 1)
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D2a) (y = x - 1) & (z = 1 - 2*x) & (x = - 1) ≡ (x, y, z) = (- 1, - 2, 3)
D2b) (y = x - 1) & (z = 1 - 2*x) & (x = 1/2) ≡ (x, y, z) = (1/2, - 1/2, 0)