[Risolto] Problema Geometria urgente

Ciao!

Questo triangolo rettangolo è rettangolo in $A$, le proiezioni sono $CH$ e $HB$ (dove $CH$ è la maggiore) mentre l'altezza relativa all'ipotenusa è $AH$. 

Dai dati del problema sappiamo che: 

$CH = 2 \cdot HB -4 $

$ AH = CH-HB  +10 $

Ma dal secondo teorema di Euclide : $AH^2 = HB \cdot CH $,  cioè $CH: AH = AH : BH$

Sostituiamo:

$(CH-HB  +10)^2 = HB \cdot CH $

$(2 \cdot HB -4-HB  +10)^2 = HB \cdot (2 \cdot HB -4) $

$ (HB +6)^2 = 2HB^2 -4 HB $

$HB^2 +36+12HB = 2HB^2 -4 HB $

$HB^2 -16 HB -36 = 0 $

$(HB - 18)(HB+2) =0 $

$HB = 18 \vee HB = -2 $

ma ovviamente $HB = -2 $ non ha senso perché è la lunghezza di un lato e di conseguenze deve essere positiva, quindi $HB = 18$ è l'unica soluzione possibile. 

Allora abbiamo che: $ CH = 2 \cdot 18 - 4 = 32 $

e $ AH = CH-HB +10 = 32-18+10 = 24 $

Allora l'area del triangolo è data dalla somma delle aree dei due triangoli rettangoli che hanno come cateti l'altezza $AH$ e le due proiezioni $BH$ e$CH$:

$A_1 = AH \cdot CH : 2 = 384 $

$A_2 = AH \cdot BH :2 = 216 $

$A_{TOT} = 384+288 = 600 $

Ciao,

Consideriamo il triangolo rettangolo in figura, dove indicando, le proiezioni sull'ipotenusa, con  HB (la proiezione maggiore) e HC (la proiezione minore).

Consideriamo la frase:

la maggiore (proiezione) è pari al doppio della minore diminuito di 4

traduciamola  in equazione:

$HB=2HC-4$    (1)

 

Consideriamo  la frase:

l'altezza relativa all'ipotenusa supera di 10 cm la differenza delle due proiezioni

traduciamola  in equazione:

$AH=HB-HC+10$    (2)

 

Per il secondo Teorema di Euclide, il quadrato dell'altezza relativa all'ipotenusa è uguale al prodotto delle proiezioni dei cateti su di essa, ossia:

$AH^2=HB \cdot HC$ (3)

 

Sostituendo il valore di $HB$  DATO DALLA (1) nella (2) e nella (3), si ottiene il seguente sistema:

$ \begin{cases}AH=2HC-4-HC+10\\AH^2=(2HC-4)\cdot HC\end{cases}$

ovvero

$ \begin{cases}AH=HC+6\\AH^2=2HC^-4HC \end{cases}$

 

Risolviamo, ora il sistema.

Sostituendo la prima equazione nella seconda, si ottiene:

$(HC+6)^2=2HC^2-4HC$

$HC^2+12HC+36=2HC^2-4HC$

$-2HC^2+HC^2+12HC+4HC+36=0$

$-HC^2+16HC+36=0$

$HC^2-16HC-36=0$

 

Risolviamo quest'ultima equazione di secondo grado nell'incognita HC, con la formula del delta:

$HC_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^-4ac}}{2a}=\frac{16\pm \sqrt{16^2-4(36)}}{2}=$

$=\frac{16\pm \sqrt{256+144}}{2}=\frac{16\pm \sqrt{400}}{2}0$

$=\frac{16\pm 20}{2}$

Le cui soluzioni sono

$HC_{1}=\frac{16+20}{2}=\frac{36}{2}=18$

e

$HC_{2}=\frac{16-20}{2}=-\frac{4}{2}=-2$

 

La soluzione -2 non può essere accettata , poiché essendo negativa non può essere la misura di una lunghezza.

Dunque abbiamo trovato che:

$HC=18 cm$

Sostituiamo tale valore sia nella prima equazione del sistema:

$AH=HC-6= 18+6= 24 cm$

e  sia nella (1):

$HB=2HC-4= 2\cdot 18-4=32 cm$

L'area del triangolo si calcola dividendo per 2 il prodotto tra l'ipotenusa $BC=HB+HC$ e la sua altezza relativa $AH$:

$A=\frac{(HB+HC)\cdot AC}{2}==\frac{(32+18)\cdot 24}{2}=

=\frac{50\cdot 24}{2}=\frac{1200}{2}=600 cm^2$

 

 

saluti ? 

In un triangolo rettangolo, delle due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, la
maggiore c2 è pari al doppio diminuito di 4 cm della minore c1, mentre l’altezza relativa
all’ipotenusa h supera di 10 cm la differenza delle due proiezioni. Determina l’area
del triangolo

p2 = 2p1-4  

h = p2-p1+10 = 2p1-4-p1+10 = p1+6

Euclides dixit : h^2 = p2*p1 

(p1+6)^2 = (2p1-4)*p1

p1^2+12p1+36 = 2p1^2-4p1

p1^2-16p1-36 = 0 

p1 = (16±√16^2-144 )/2 = (16±20)/2 = 18 cm  ; -2 cm  (non accettabile)

p2 = 18*2-4 = 32 cm 

ipot. i = p1+p2 = 18+32 = 50 cm 

area = i*h/2 = 50*(18+6)/2 = 50*12 = 600 cm^2

bonus :

c2 = √i*p2 = √50*32 = 40 cm

c1 = √i*p1 = √50*18 = 30 cm

area = 30*20 = 600 cm^2