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[Risolto] Risultato disequazione  

  

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Ho la seguente disequazione: $16x^4-24x^2+9\le 0$  

Sostituisco $x^2=t$

Si avrà $16t^2-24t+9=\:0$ con $\Delta \:=\:0$ e come soluzione $\frac{3}{4}$.

Sostituisco $x^2=\frac{3}{4}$ di conseguenza$ \:x=\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ e poi $x=\:\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Quello che non capisco è perché il risultato della disequazione sia proprio $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Essendo la disequazione $\le 0$, chiede i valori che stanno sull'ascisse o sotto, ma sono confuso a riguardo.

Dovrei considerare che il delta è venuto uguale a 0? Ho un'unica soluzione in cui la parabola tocca l'asse delle x, però sostituendo la soluzioni diventano 2! 

E' forse una parabola strana che tocca l'ascisse rispettivamente in $-\frac{\sqrt{3}}{2}\:e\:\frac{\sqrt{3}}{2}$ e non in unico punto come di solito accade con delta uguale a 0? 🤔 

E' questa l'unica idea che mi è venuto in merito, spero di aver espresso bene il mio dubbio 😆

Grazie a chi risponderà. 

@iloveyou

il primo membro della disequazione è un quadrato Perfetto quindi non può essere negativo al massimo può essere uguale a zero.

Quindi nella disequazione vado ad escludere segno minore ti rimane solo il segno uguale

3 Risposte
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Buongiorno!

La tua disequazione non rappresenta una parabola, ma un polinomio di quarto grado: è normale che non ci sia il "classico" comportamento da parabola. Ottieni due soluzioni ed è giusto così, in quanto questa funzione interseca l'asse x in due punti. 

Il tuo svolgimento è perfetto, il risultato è corretto e la prima interpretazione è giusta. Quel che non va bene sta qui:

Postato da: @iloveyou

Dovrei considerare che il delta è venuto uguale a 0? Ho un'unica soluzione in cui la parabola tocca l'asse delle x, però sostituendo la soluzioni diventano 2! 

E' forse una parabola strana che tocca l'ascisse rispettivamente in −32e32 e non in unico punto come di solito accade con delta uguale a 0? 🤔

Non devi considerare il delta pari a 0, poiché non è pari a 0; similmente, non c'è un'unica soluzione per cui la funzione interseca l'asse x, bensì due. Inoltre, come già detto, non si tratta di una "parabola strana", ma di un polinomio di quarto grado.

Quello che hai fatto risolvendo l'equazione associata alla disequazione proposta è stato semplicemente trovare le radici della funzione, il che sarà una delle operazioni che riterrai, probabilmente, più facili quando un domani analizzerai una funzione. 😉 

Il collegamento equazione di II grado - parabola viene bene perché la parabola è probabilmente la funzione polinomiale più bella (in termini di proprietà e facilità di studio) da analizzare, e questo è evidenziato anche dal fatto che in terzo liceo non si studiano i polinomi di quarto grado, ma la parabola.

Ti lascio qui sotto il link di desmos, software per plottare grafici di funzioni. Gioca un po' con le polinomiali e divertiti a notare similitudini e diversità tra le varie forme che possono assumere.

https://www.desmos.com/calculator?lang=it

@gabriele22 Grazie mille, ho capito. Purtroppo non ho ancora una visione chiara dell'insieme quindi certe cose non le capisco. Non ero a conoscenza di questo fatto della funzione, ho difatti provato a dare una spiegazione con le mie attuali conoscenze prendendo in considerazione una "parabola strana". 😆 

Piano piano a piccoli passi ci arriverò! 👍 💪

Sì, sì, assolutamente! È normale che tu non abbia ancora studiato queste cose, è per questo che ho cercato di spiegartelo nella maniera più blanda possibile. L'idea, in generale, è utilizzare la parabola solo nel momento in cui risolvi un'equazione di II grado. Ad esempio, quando hai risolto l'equazione sostituendo t potevi ragionare con la parabola, dicendo che effettivamente $ 16t^2-24t+9 $ rappresenta una parabola che interseca l'asse x in un solo punto, e poiché il coefficiente del termine di grado massimo è positivo, il "resto" della parabola si trova sopra l'asse x. Poi, quando devi "tornare" in x, trovi che le soluzioni sono 2, non più una, ma non c'entra più il delta, quello già lo hai "usato" prima.

Se hai altri dubbi dimmi.

@gabriele22 Tutto chiaro, grazie ancora dei preziosi consigli! 😉 

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SPIEGAZIONE

Io ti mostro un modo alternativo di risolvere questa disequazione ed è il più breve. Prevede l’utilizzo di un prodotto notevole, che forse avevi già riconosciuto.

  • Fattorizzo il polinomio riconoscendo una prodotto notevole, cioè $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$;
  • il polinomio, dato che è elevato al quadrato, è sempre maggiore o uguale di $0$, quindi la disequazione è verificata solo quando è uguale a $0$;
  • una polinomio elevato ad esponente pari è uguale a $0$ solo se lo è la base;
  • risolvo l’equazione di secondo grado.

 

SOLUZIONE

$16x^{4}-24x^{2}+9\leq0$

$(4x^{2}-3)^{2}\leq0$

$(4x^{2}-3)^{2}=0$

$4x^{2}-3=0$

$4x^{2}=3$

$x^{2}=\frac{3}{4}$

$x=\pm\sqrt{\frac{3}{4}}$

$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

$y=16x^{4}-24x^{2}+9$

665789F6 2ECD 4C4E 9926 D01B94754CE2

Come puoi notare, poiché l’equazione associata non è di secondo grado, la rappresentazione non corrisponde ad una parabola.

@us In effetti non avevo pensato a scomporlo come quadrato di binomio ed era anche facilmente riconoscibile, mannaggia! 😆 

Grazie per il metodo alternativo!

@ILoveYou Sì, non sempre vengono in mente i prodotti notevoli, ma se ci sono, possono semplificare molto le cose.

Prego! 😃

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