[Risolto] Quesito parabola

SPERO NON TI DISTURBI SE CHIAMO k IL PARAMETRO E RISERVO IL NOME m PER LA PENDENZA (se occorre).
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L'equazione in (x, y), parametrica in k,
* y = k*x^2 + k*x + (2*k - 1)
rappresenta
1) per k = 0
la singola retta
* y = - 1
2) per k != 0
le parabole
* y = k*(x^2 + x + (2 - 1/k)) = k*(x + 1/2)^2 + k*(7/4 - 1/k) = k*(x - (- 1 - √(4/k - 7))/2)*(x - (- 1 + √(4/k - 7))/2)
con
* vertici V(1/2, k*(7/4 - 1/k))
* apertura k
* zeri X = - 1 ± √(4/k - 7))/2
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VALUTARE LE SEGUENTI AFFERMAZIONI
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a) i vertici di tutte le parabole hanno la stessa ascissa ≡ VERO
* xV = 1/2
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b) esiste una sola parabola il cui vertice ha ordinata nulla ≡ VERO
* yV = k*(7/4 - 1/k) = 0 ≡ k = 4/7 → y = (4/7)*(x^2 + x + 1/4)
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c) si hanno parabole con concavità rivolta verso l'alto e che tagliano l'asse delle ascisse in due punti solo con 0 < k < 4/7 ≡ VERO
c1) si hanno parabole con concavità rivolta verso l'alto ... solo con 0 < k ... ≡ VERO
c2) si hanno parabole ... che tagliano l'asse delle ascisse in due punti solo con 0 < k < 4/7 ≡ VERO
* (4/k - 7) > 0 ≡ 0 < k < 4/7
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d) con k < 0 l'ordinata del vertice della parabola è negativa ≡ VERO
* yV = k*(7/4 - 1/k) < 0 ≡ (k < 4/7) & (k != 0)
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e) con k != 0 tutte le parabole sono isometriche ≡ FALSO?
L'attributo "isometrico", usato così, è equivoco: vedi al link http://www.treccani.it/vocabolario/isometrico/

la a) è vera in quanto

$x_V=-b/2a$ ed essendo in questo caso

$a=m$ e $b=m$ si ottiene che $x_V=-1/2$ per tutte le parabole del fascio

la b) è anche vera, il quanto

$y_V=-\Delta/4a$ quindi affinchè $y_V=0$ è necessario che $\Delta=0$, ovvero

$b^2-4ac=0$ che nel presenta caso significa

$m^2-4m(2m-1)=m(4-7m)=0$

quindi i valori di $m$ sono 2, ovvero $m=0$ e $m=4/7$. 

Ma $m=0$ non è accettabile. quindi una sola parabola

relativamente alla c), affichè la concavità sia positiva deve essere $m>0$. 

affinchè ci siano due soluzioni distinte è necessario allora che $\Delta>0$

quindi $m(4-7m)>0$. Siccome $m$ è già $>0$, è sufficiente che $4-7m>0$ ovvero $m<4/7$.

Quindi anche la c) è vera

Anche la d) è vera, basta studiare il segno del $\Delta$

la e) è chiaramente falsa.