[Risolto] Parabole e rette tangenti

Anzitutto ti clicko un cuoricino in segno di gratitudine per non aver usato inserti LaTeχ superflui.
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Le parabole
* Γ1 ≡ x = y^2/2 - 2
* Γ2 ≡ x = y^2/4
hanno
* l'asse x come asse di simmetria
* aperture positive (a1 = 1/2, a2 = 1/4) cioè concavità verso x > 0
* vertici V1(- 2, 0), V2(0, 0)
quindi le tangenti comuni hanno forma
* t ≡ y = ± m*(x - k)
dove
* (m > 0) & (k < - 2)
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Stante la simmetria è sufficiente determinare una delle tangenti e, per l'altra, usare la pendenza opposta.
Le condizioni di tangenza sono gli annullamenti dei discriminanti delle risolventi di entrambi i sistemi di ciascuna parabola con t e le condizioni restrittive sui parametri.
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* (x = y^2/2 - 2) & (y = m*(x - k)) & (m > 0) & (k < - 2)
con risolvente
* ((m*x)^2 - 2*(k*m^2 + 1)*x + (k*m)^2 - 4 = 0) & (m > 0) & (k < - 2)
di discriminante
* Δ(k, m) = 4*(2*(k + 2)*m^2 + 1) = 0
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* (x = y^2/4) & (y = m*(x - k)) & (m > 0) & (k < - 2)
con risolvente
* ((m*x)^2 - 2*(k*m^2 + 2)*x + (k*m)^2 = 0) & (m > 0) & (k < - 2)
di discriminante
* Δ(k, m) = 16*(k*m^2 + 1) = 0
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* (2*(k + 2)*m^2 + 1 = 0) & (k*m^2 + 1 = 0) & (m > 0) & (k < - 2) ≡
≡ (k = - 4) & (m = 1/2)
quindi
* t1 ≡ y = - (x + 4)/2
* t2 ≡ y = + (x + 4)/2
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I punti di tangenza, vertici del trapezio isoscele ABCD, sono le soluzioni del sistema fra il complesso delle rette e quello delle parabole
* ((y - (x + 4)/2)*(y + (x + 4)/2) = 0) & ((y^2/2 - 2 - x)*(y^2/4 - x) = 0) ≡
≡ D(0, - 2), C(0, 2), A(4, - 4), B(4, 4)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28y-%28x--4%29%2F2%29*%28y--%28x--4%29%2F2%29%3D0%2C%28y%5E2%2F2-2-x%29*%28y%5E2%2F4-x%29%3D0%5Dx%3D-5to5%2Cy%3D-5to5
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L'area S del trapezio, prodotto fra l'altezza h = 4 e la media delle basi (2*2 + 2*4)/2 = 6, è
* S = 24
Vedi il grafico e il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%284%2C-4%29%284%2C4%29%280%2C2%29%280%2C-2%29