PER EVITARE IMPROBABILI MALINTESI MI SUSCITI UN DUBBIO BELLO GROSSO: «A ddu le stabbìti "queste tre equazioni"?»
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Il sistema che hai scritto più che chiaramente ha DUE equazioni e DUE disequazioni, più una TERZA disequazione sottintesa che esplicito io prima di procedere a una quadratura
* (y = 2*√(2*x - x^2) >= 0) & (y = k*(x + 1) + 2) & (0 <= x <= 2) ≡
≡ (((x - 1)/1)^2 + ((y - 0)/2)^2 = 1) & (y >= 0) & (y = k*(x + 1) + 2) & (0 <= x <= 2)
e, in questa forma, se ne può dare un'interpretazione intuitiva.
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Discutere il sistema al variare del parametro reale k vuol dire esaminare le intersezioni
FRA LE RETTE del fascio proprio
* r(k) ≡ y = k*(x + 1) + 2
centrato nel punto di sostegno S(- 1, 2), con pendenza k e intercetta k + 2
E LA SEMIELLISSE
* (((x - 1)/1)^2 + ((y - 0)/2)^2 = 1) & (y >= 0) & (0 <= x <= 2)
nel semipiano y >= 0 dell'ellisse
* Γ ≡ ((x - 1)/1)^2 + ((y - 0)/2)^2 = 1
di centro C(1, 0), assi (x = 1) & (y = 0) e semiassi (a, b) = (1, 2)
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I valori di k che discriminano le intersezioni sono solo tre e cioè quelli che determinano le rette congiungenti S con i vertici dell'asse minore di Γ e la retta t tangente Γ nella semiellisse superiore.
* S(- 1, 2)(0, 0) ≡ y = - 2*x → k = - 2
* S(- 1, 2)(2, 0) ≡ y = 2 - (2/3)*(x + 1) → k = - 2/3
* t ≡ y = 2 (ovviamente, è la tangente di vertice!) → k = 0
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La distinzione di casi sul parametro reale k risulta la seguente.
* k < - 2: nessun punto comune
* - 2 <= k < - 2/3: un punto comune semplice
* - 2/3 <= k < 0: due punti comuni distinti
* k = 0: un punto comune doppio
* k > 0: nessun punto comune
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-1%29%5E2%3D1-%28y%2F2%29%5E2%2C%28y-2%29*%28-2*x-y%29*%284-3*y-2*x%29%3D0%5Dx%3D-1.1to2.1%2Cy%3D-0.1to2.1

y^2 = 4(2x - x^2)

y >= 0 per la convenzione sui radicali

y^2 + 4x^2 - 8x = 0

4x^2 - 8x + 4 + y^2 = 4

4(x-1)^2 + y^2 = 4

(x-1)^2 + y^2/2^2 = 1

graficamente é la parte superiore di una ellisse traslata

con centro in (1,0) e semiassi a = 1 e b = 2

C'é poi il fascio di rette k(x+1) - y + 2 = 0

il cui centro é l'intersezione di -y + 2 = 0 e x + 1 = 0

C = (-1,2)

e le due rette verticali, confini della striscia utile,

x = 0 e x = 2.

Comincerei a disegnare questo.

https://www.desmos.com/calculator/ydar4jxczg

Dal disegno riconosci anche che kt = 0

Devi determinare kA e kB, che dovrebbero essere -2 e -2/3 

e disegnare la retta per k -> oo che é x = -1.

Sai continuare ?

La discussione consiste in 

a) individuare il verso delle k crescenti 

b) dedurre le conclusioni dal grafico.