Quesito matematica scientifico 3^scienze applicate

@cowep14

 

x²/2 + y²/8 = 1

V1=[0, 2*radice (2)]

V2=[0, -2*radice (2)]

V3=[radice (2), 0]

V=[radice (2), 0]

 

 

Il punto P non appartiene alla conica. Dalla condizione di appartenenza risulta infatti:

4*4 + 0 = 8  non verificata

 

Possiamo calcolare le tangenti alla curva mettendo a sistema il fascio di rette proprio di centro P con l'equazione della conica e imponendo la condizione di tangenza nell'equazione risolvente imponendo la condizione D=0

Quindi:

{y= m(x+2)

{4x² + y² = 8

 

Sostituendo la prima equazione nella seconda si ottiene:

4x² + m²(x+2)² - 8 = 0

x² * (4+m²) + 4m²x + (4m² - 8) = 0

 

Imponendo la condizione di tangenza:

D/4 = 0  ==>

4m⁴ - (4+m²)(4m² - 8) = 0

32 - 8m² = 0

 

Da cui si ricava: m=2, m= - 2

 

Le rette tangenti all'ellisse condotte da P sono:

y= 2x+4 (se m=2)

y= - 2x - 4 (se m= - 2)

Metodo alternativo a quello dell'amico @stefano pescetto.

Tanto vediamo la posizione del punto:

Risultando: 4·(-2)^2 + 0^2 > 8------> 16 > 8

il punto è esterno all'ellisse. Si possono tracciare le tangenti.

Procedo individuando la polare tramite le formule di sdoppiamento

4·(- 2·x) + 0·y = 8-----> x = -1

Determino quindi i punti di tangenza tramite il sistema:

{4·x^2 + y^2 = 8

{x = -1

Risolvo ed ottengo: [x = -1 ∧ y = 2, x = -1 ∧ y = -2]

Determino quindi le due tangenti:

(y - 2)/(x + 1) = (0 - 2)/(-2 + 1)---------> y = 2·x + 4

(y + 2)/(x + 1) = (0 + 2)/(-2 + 1)--------> y = - 2·x - 4

 

Ieri sera alle sette ho già svolto quest'esercizio
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/66888/
per il tuo collega @Lucon04 che "manco m'ha detto còtica".
Ti trascrivo qui di seguito lo svolgimento di ieri e confido che almeno tu mi faccia sapere che te ne pare.
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PROBLEMA DELLE TANGENTI, RETTA POLARE, SDOPPIAMENTI
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla conica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciandone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
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Se il punto P è sulla conica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se è esterno a Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
Se è interno a Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
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NEL CASO IN ESAME
Dati
* P(- 2, 0)
* Γ ≡ 4*x^2 + y^2 = 8 ≡ 4*x^2 + y^2 - 8 = 0
si ha
* p(Γ, P) ≡ 4*(- 2)*x + 0*y - 8 = 0 ≡ x = - 1
Il sistema dei punti comuni è
* (x = - 1) & (4*x^2 + y^2 = 8) ≡
≡ S1(- 1, - 2) oppure S2(- 1, 2)
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La presenza di due intersezioni distinte risolve entrambi i quesiti:
* P non appartiene a Γ;
* le tangenti richieste sono le congiungenti
** PS1 ≡ y = - 2*(x + 2)
** PS2 ≡ y = + 2*(x + 2)
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%5E2%3D8-4*x%5E2%2C%28x--1%29*%28y-2*x-4%29*%28-2*x-4-y%29%3D0%5Dx%3D-3to3