[Risolto] Esercizio di Geometria (Fine seconda liceo)

@bxxxx

Ciao, intanto un disegno:

Quindi determiniamo la base del triangolo isoscele:

AB= 2·√(R^2 - (R - x)^2) = 2·√(2·R·x - x^2)

ed i lati obliqui:

BC=AC=√(x^2 + √(2·R·x - x^2)^2) = √(2·R·x)

Adesso scrivi:

AB^2+BC^2+AC^2= 5 R^2

(2·√(2·R·x - x^2))^2 + √(2·R·x)^2·2 = 5·R^2

(8·R·x - 4·x^2) + 4·R·x - 5·R^2 = 0

- 4·x^2 + 12·R·x - 5·R^2 = 0

se la risolvi ottieni:

x = 5·R/2 ∨ x = R/2

(escludi la prima radice)

Una cosa per volta.
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Prima le minchiatine di contorno.
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1) Brava Bxxxx! Dichiarare la classe frequentata aiuta a calibrare la risposta.
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2) "come dovrebbe essere fatto il disegno" Tracci un raggio e il suo asse, congiungi l'estremo del raggio con le intersezioni dell'asse con la circonferenza, e ti ritrovi un bel triangolo ottusangolo.
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3) "inscritto in un cerchio di raggio r" E NO, NON STA BENE! La terminologia matematica ci ha messo un paio di secoli per stabilizzarsi: "r" è l'inraggio, il circumraggio è "R".
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Poi la geometria.
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4) Un triangolo isoscele con
* b = lato di base
* L = lato di gamba
* h = √(L^2 - (b/2)^2) = √(4*L^2 - b^2)/2 = altezza sulla base
ha circumraggio
* R = L^2/√(4*L^2 - b^2)
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5) ESERCIZIO
Si chiede quale sia il valore di h nel triangolo isoscele per cui
* "l'area della somma dei quadrati costruiti sui lati" = b^2 + 2*L^2
* "misuri 5*R^2"
cioè
* (b^2 + 2*L^2 = 5*R^2) & (0 < b < 2*L) ≡
≡ (b^2 + 2*L^2 - 5*(L^2/√(4*L^2 - b^2))^2 = 0) & (0 < b < 2*L) ≡
≡ b^2 = 3*L^2
da cui
* R = L^2/√(4*L^2 - b^2) = L^2/√(4*L^2 - 3*L^2) = L
* h = √(4*L^2 - b^2)/2 = √(4*L^2 - 3*L^2)/2 = L/2 = R/2
che è proprio il risultato atteso.