Scrivi l'equazione della retta tangente alla parabola y=3x^2-4x e perpendicolare alla retta di equazione x-3y=0, poi determina il punto di tangenza. Io di ciò non capisco come determinare il punto di tangenza, ho visto la soluzione ma non ho capito come ci siete arrivati (io sono arrivato al punto di 3x²-x+1/12=0)
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Livello 0
x - 3y = 0 => y = 1/3 x
la retta richiesta é del tipo y = - 3x + q
e q va scelto in modo che
3x^2 - 4x = - 3x + q
3x^2 - x - q = 0
abbia discriminante nullo per la condizione di tangenza
D = 1 + 4*3*q = 0
12 q = -1
q = -1/12
Sostituendo la risolvente diventa
3x^2 - x + 1/12 = 0
36 x^2 - 12 x + 1 = 0
(6x - 1)^2 = 0
6x = 1
x = 1/6
e y = -3x - 1/12 = -1/2 - 1/12 = -7/12
T = (1/6; -7/12)
Controlliamo
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Livello 6
@eidosm grazie mille
La retta
* x - 3*y = 0 ≡ y = x/3
ha pendenza 1/3, quindi tutte le sue perpendicolari devono avere pendenza - 3
* t(q) ≡ y = q - 3*x
fra queste ce n'è solo una che abbia con la parabola
* Γ ≡ y = 3*x^2 - 4*x
un punto comune doppio: quel punto è il punto di tangenza con quell'unica retta.
CALCOLI
Il sistema
* t(q) & Γ ≡ (y = q - 3*x) & (y = 3*x^2 - 4*x)
ha risolvente
* 3*x^2 - 4*x - (q - 3*x) = 0 ≡
≡ 3*x^2 - x - q = 0
con discriminante
* Δ(q) = 12*q + 1
che, se è zero, dà luogo a una radice doppia.
Quindi la tangente è
* t(- 1/12) ≡ y = - 1/12 - 3*x
e la tangenza avviene in
* t(- 1/12) & Γ ≡ (y = - 1/12 - 3*x) & (y = 3*x^2 - 4*x) ≡ T(1/6, - 7/12)
GRAFICO
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx%2F3%2Cy%3D-1%2F12-3*x%2Cy%3D3*x%5E2-4*x%2C%28x-1%2F6%29%5E2+%2B+%28y--7%2F12%29%5E2%3D1%2F100%5Dx%3D-1to2
dove il cerchietto è centrato su T.
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Genius I
