Data la parabola di equazione $y=x^2-4$, siano $A$ il suo punto d'intersezione con l'asse $y$ e $B$ il suo punto d'intersezione con il semiasse delle ascisse positive. Detta $t$ la retta tangente alla parabola nel suo punto $B$, considera un punto $P$ sull'arco $\overparen{A B}$ di parabola e indica con $H$ la proiezione di $P$ sulla retta $t$. Calcola il limite cui tende il rapporto $\frac{\overline{P B}^2}{\overline{P H}}$ quando $P$ tende a $B . \quad[17 \sqrt{17}]$
10
punti
Livello 0
A(0,-4) e B(2,0)
retta t:
y=x^2-4-----> y'=dy/dx= m=2x
per x=2----> y=2*2(x-2)------> y = 4x-8
Quindi il problema è dato da quanto espresso in figura:
PB^2=(x - 2)^2 + (x^2 - 4)^2 = x^4 - 7·x^2 - 4·x + 20
PH=ABS(4·x - (x^2 - 4) - 8)/√(4^2 + (-1)^2)
PH=ABS(- x^2 + 4·x - 4)/√17
PH=(x^2 - 4·x + 4)/√17
Quindi si tratta di calcolare il rapporto:
(x^4 - 7·x^2 - 4·x + 20)/((x^2 - 4·x + 4)/√17) =
=√17·x^2 + 4·√17·x + 5·√17
e quindi il limite:
LIM(√17·x^2 + 4·√17·x + 5·√17) = 17·√17
x---->2
77299
punti
Genius II
75838
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