[Risolto] Disequazioni esponenziali risolubili con i logaritmi

C'è una svista alla quarta riga!!

Hai una disequazione fratta....

2^x = t > 0

quindi:

40 - 9·t > 20 + 4/t

40 - 9·t - 20 - 4/t > 0

(- 9·t^2 + 20·t - 4)/t > 0

(9·t^2 - 20·t + 4)/t < 0

se la risolvi ottieni:

2/9 < t < 2 ∨ t < 0

Quindi devi considerare solo quello che è scritto in grassetto!!

2/9 < 2^x < 2 che fornisce:

LN(2/9) < LN(2^x) < LN(2)

LN(2/9)/LN(2) < x < 1

(LN(2) - LN(9))/LN(2) < x < 1

 

 

* 40 - 9*2^x > 20 + 2^(2 - x) ≡
≡ 20 - 9*2^x > 2^2/2^x ≡
≡ 2^2/2^x - (20 - 9*2^x) < 0 ≡
≡ 9*(2^x - 2)*(2^x - 2/9)/2^x < 0 ≡
≡ (2^x - 2)*(2^x - 2/9) < 0 ≡
≡ (2^x < 2) & (2^x > 2/9) oppure (2^x > 2) & (2^x < 2/9) ≡
≡ (2/9 < 2^x < 2) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ log(2, 2/9) < log(2, 2^x) < log(2, 2) ≡
≡ log(2, 2/9) < x < 1
che è proprio il risultato atteso, vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?key=&i=solve+40-9*2%5Ex%3E20%2B2%5E%282-x%29+for+x+real

Quando l'hai riscritta come

 

40 - 9*2^x > 20 + 2^2 * 2^(-x)

e ponendo 2^x = t   con t > 0

ottieni subito   40 - 9 t > 20 + 4/t

9t + 4/t - 20 < 0

(9t^2 - 20 t + 4)/t < 0

9t^2 - 20t + 4 < 0   (t é positivo)

t = (10+- rad(100 - 36))/9 = (10 +- 8)/9 = 2/9 e 2

2/9 < 2^x < 2

passo ai logaritmi in base 2

 

log_2 2 - log_2 9 < x < log_2 2

1 - log 9/log 2 < x < 1

(log 2 - log 9)/log 2 < x < 1