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[Risolto] Problemi con i logaritmi

  

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Buongiorno, qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo problema? grazie in anticipo

La popolazione di un certo Stato, che nel 1990 era di 8 milioni di persone, cresce del $3 \%$ all'anno secondo la legge $N=N_{0} e^{k t}$
dove $N$ rappresenta la popolazione, espressa in milioni di persone, presente $t$ anni dopo il $1990, N_{0}$ è la popolazione iniziale nel 1990 e $k$ è un coefficiente detto costante di crescita.
a. Calcola il valore di $k$.
b. Determina $N$ nel 2000 .
c. Indica la previsione di $N$ nel 2020 .
d. Calcola il tempo necessario per il raddoppio della popolazione.
$$
\text { [a) } k=\ln 1,03 ; \text { b) } 10751331 ; \text { c) } 19418100 ; \text { d }) t \simeq 23,45 \text { anni }]
$$

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1 Risposta
2

CHE STUCCHEVOLE IL "qualcuno potrebbe aiutarmi", E' OVVIO CHE SI':
se no non avresti scritto.
CHE SCORAGGIANTE IL TITOLO NON SIGNIFICATIVO:
di problemi coi logaritmi ce ne sono decine di specie, questo è della specie "evoluzione esponenziale", sottospecie "crescita esponenziale".
------------------------------
Con
* n(t) = numerosità al tempo t
* N = n(0) = numerosità al tempo zero
* b = base dell'esponenziale
* τ = costante di tempo positiva del fenomeno
il modello matematico dell'evoluzione esponenziale si presenta in due specie
1) decadimento esponenziale
* n(t) = N*b^(- t/τ)
2) crescita esponenziale
* n(t) = N*b^(+ t/τ)
---------------
L'esercizio standard sull'evoluzione esponenziale chiede di ricostruire l'equazione e poi di valutarne una o più istanze o grandezze derivate.
==============================
ESERCIZIO 103
------------------------------
Si presenta nella forma
* n(t) = N*e^(k*t)
con
* N = 8*10^6
* n(t + 1) = (103/100)*n(t)
e chiede i valori di
a) k = 1/τ
b) n(10) = N*e^(k*10)
c) n(20) = N*e^(k*20)
d) un cambio di base per la stima del nuovo τ nella forma
* n(t) = N*2^(+ t/τ)
------------------------------
RISOLUZIONE
---------------
a) Fattore di crescita e costante di tempo
* n(t + 1) = (103/100)*n(t) ≡
≡ N*e^(k*(t + 1)) = (103/100)*N*e^(k*t) ≡
≡ e^(k*(t + 1))/e^(k*t) = 103/100 ≡
≡ e^k = 103/100 ≡
≡ ln(e^k) = ln(103/100) ≡
≡ k = ln(103/100) ~= 0.0295588 all'anno
* τ = 1/k ~= 33.83 anni
---------------
Equazione della crescita
* n(t) = (8*10^6)*e^((ln(103/100))*t) ≡
≡ n(t) = (8*10^6)*(103/100)^t
---------------
Valutazioni b e c
* n(10) = (8*10^6)*(103/100)^10 ~= 10751331
* n(20) = (8*10^6)*(103/100)^20 ~= 14448890
---------------
d) cambio di modello
* n(t + 1) = (103/100)*n(t) ≡
≡ N*2^((t + 1)/τ) = (103/100)*N*2^(t/τ) ≡
≡ 2^((t + 1)/τ)/2^(t/τ) = 103/100 ≡
≡ 2^(1/τ) = 103/100 ≡
≡ log(2, 2^(1/τ)) = log(2, 103/100) ≡
≡ 1/τ = log(2, 103/100) ≡
≡ τ = 1/log(2, 103/100) ~= 23.44977 anni ~= 23 anni + 164 giorni






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