Salve! Mi servirebbe una mano per cercare di risolvere questo problema:
Nel triangolo ABC, isoscele sulla base AB, siano CH l'altezza relativa ad AB e P, Q, rispettivamente, le proiezioni di H sul lato AC e sul lato BC. Sapendo che AB=2a, determina la misura degli angoli alla base in modo che CH=2PQ.
Grazie in anticipo
8
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Livello 0
Ciao e benvenuto.
Con riferimento alla figura allegata:
AH = a ; α = β = γ sono uguali per costruzione ed appartengono ai triangoli rettangoli:
CHA; PFH; CPF
con riferimento a questi 3 triangoli rettangoli possiamo dire che:
TAN(α)=CH/AH ; TAN(β) = PF/FH ; TAN(γ)= CF/PF
Bisogna determinare α in modo che sia :
CH= CF+FH=2*PQ=4*PF (si sfrutta la simmetria del triangolo isoscele)
Si tratterà quindi di scrivere:
CH=AH*TAN(α)=a·TAN(α)
CF = PF*TAN(γ)=PF*TAN(α)
FH = PF/TAN(β) =PF/TAN(α)
--------------------------------
CH=PF*TAN(α)+PF/TAN(α) =4*PF
dividendo per PF, dovremo risolvere l'equazione goniometrica:
TAN(α)+1/TAN(α) =4
e ricavarci quindi α
Quindi posto: TAN(α) = μ
μ + 1/μ = 4----> μ ≠ 0-----> μ^2 - 4·μ + 1 = 0 risolvo:
μ = 2 - √3 ∨ μ = √3 + 2 ossia
TAN(α) = 2 - √3------> α = pi/12 in gradi: α = 15°
oppure
TAN(α) = 2 + √3-----> α = 5·pi/12 in gradi: α = 75°
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Genius II
..
Indichiamo con x=angoli alla base del triangolo isoscele ABC
L'angolo PHA = angolo QHB = 90-x
L'angolo THB = angolo THP = x
Vogliamo che CH = 2*PQ
QUINDI
a*tan(x) = 4a*sen²(x)
Scriviamo sen²(x) in funzione della tan(x) ed otteniamo
tan(x) =4*((tan²x)/(1+tan²x))
Pongo tan(x) = y e otteniamo:
y=4y² / (1+y²)
Facendo il minimo comune multiplo e liberando a denominatore otteniamo:
y³-4y²+y=0
y*(y²-4y+1)=0
Da cui y=0 e
y=(4 + radice (12))/2 = 2 + radice (3) e
y= 2 - radice (3)
Scartiamo y=0 e abbiamo
Tan(x) = 2+radice (3) da cui x=75 gradi
Tan(x) = 2-radice (3) da cui x=15 gradi
......
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Genius II
scusami...
<
Facendo il minimo comune multiplo e liberando a denominatore
<
... avrei scritto "moltiplicando ambo i membri per (1+y²) diverso da zero"
come detta il 2° principio di equiv. {tralasciando i , lo so li usan tutti (!), rif. a mcm e a "liberare"} ...
... ovv. son pareri.
Ciao nik,
Apprezzo sempre ogni commento e confronto.
Per quanto riguarda il minimo comune multiplo avevo in testa di fare un minimo comune multiplo, moltiplicando il primo termine y * (1+y²)/(1+y²) e avere così lo stesso denominatore a primo e secondo membro.
Come hai detto mi sono certamente dimenticato di scrivere che 1+y² è una quantità sempre diversa da zero e quindi è possibile l'operazione.
Liberare a denominatore è probabilmente una maniera errata per esprimere il concetto che se due frazioni hanno denominatore uguale, diverso da zero, allora posso imporre semplicemente l'uguaglianza dei numeratori.
Spero di aver interpretato bene il tuo commento.
Buona giornata
