[Risolto] Problemi di massimo e di minimo di trigonometria

Svolgo prima a)

Dal triangolo APB ( rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza )

AP = AB cos 2x = 2 cos 2x

Osserviamo che mentre P scorre sulla semicirconferenza da B ad A

0 <= 2x <= pi/2 per cui 0 <= x <= pi/4

Da AMB, anch'esso rettangolo per la stessa ragione si deduce

MB = PM = AB sin 2x/2 = 2 sin x

P(x) = 2 + 2 cos 2x + 4 sin x = max

2 [cos^2(x) - sin^2(x) + 2 sin x + 1] = max

2[ 1 - 2 sin^2(x) + 2 sin x + 1 ] = max

2[ - 2 sin^2(x) + 2 sin x + 2 ] = max

-4 ( sin^2(x) - sin x - 1) = max

sin^2(x) - sin x + 1/4 - 1/4 - 1 = min

(sin x - 1/2)^2 - 5/4 = min

e ciò accade se sin x = 1/2 =>  x = 30°

 

Pmax = - 4*(-5/4) = 5

b) per la seconda parte non credo che si possano evitare le derivate.

L'area del quadrilatero é data da

S[AMB] + S[APM] =

= 1/2 AM * BM + 1/2 AP * AM sin x =

= 1/2  2cos x * 2sin x + 1/2 2cos 2x * 2cos x * sin x =

= 4* 1/2 sin x cos x ( 1 + cos 2x) =

= 4 * sin 2x ( 1 + cos 2x ) =

= 4*sin t ( 1 + cos t )     con t = 2x nel primo quadrante.

 

A meno che non vogliamo svolgere una semplice verifica con una

disequazione, dobbiamo prendere la derivata di

S(t) = sin t + sin t cos t     e studiarne il segno in [0, pi/2]

 

S'(t) = cos t + cos t * cos t + sin t *(- sin t ) =

= cos^2(t) - 1 + cos^2(t) + cos t =

= 2c^2 + c - 1 >= 0

Il coseno é decrescente nel I Quadrante. Scomponendo

2c^2 + 2c - c - 1 >= 0

2c (c+1) - (c + 1) >= 0

(c + 1)(2c - 1) >= 0

il primo fattore é sempre positivo

2c - 1 >= 0

c >= 1/2

t <= 60° é l'intervallo di crescenza per l'area

x* = 60°/2 = 30°

Si può agevolmente controllare che il massimo trovato é assoluto

verificando i valori agli estremi.

 

S_max = 4 sin 60° ( 1 + cos 60° ) = 4 rad(3)/2 * 3/2 = 3 rad(3