Svolgo prima a)
Dal triangolo APB ( rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza )
AP = AB cos 2x = 2 cos 2x
Osserviamo che mentre P scorre sulla semicirconferenza da B ad A
0 <= 2x <= pi/2 per cui 0 <= x <= pi/4
Da AMB, anch'esso rettangolo per la stessa ragione si deduce
MB = PM = AB sin 2x/2 = 2 sin x
P(x) = 2 + 2 cos 2x + 4 sin x = max
2 [cos^2(x) - sin^2(x) + 2 sin x + 1] = max
2[ 1 - 2 sin^2(x) + 2 sin x + 1 ] = max
2[ - 2 sin^2(x) + 2 sin x + 2 ] = max
-4 ( sin^2(x) - sin x - 1) = max
sin^2(x) - sin x + 1/4 - 1/4 - 1 = min
(sin x - 1/2)^2 - 5/4 = min
e ciò accade se sin x = 1/2 => x = 30°
Pmax = - 4*(-5/4) = 5
b) per la seconda parte non credo che si possano evitare le derivate.
L'area del quadrilatero é data da
S[AMB] + S[APM] =
= 1/2 AM * BM + 1/2 AP * AM sin x =
= 1/2 2cos x * 2sin x + 1/2 2cos 2x * 2cos x * sin x =
= 4* 1/2 sin x cos x ( 1 + cos 2x) =
= 4 * sin 2x ( 1 + cos 2x ) =
= 4*sin t ( 1 + cos t ) con t = 2x nel primo quadrante.
A meno che non vogliamo svolgere una semplice verifica con una
disequazione, dobbiamo prendere la derivata di
S(t) = sin t + sin t cos t e studiarne il segno in [0, pi/2]
S'(t) = cos t + cos t * cos t + sin t *(- sin t ) =
= cos^2(t) - 1 + cos^2(t) + cos t =
= 2c^2 + c - 1 >= 0
Il coseno é decrescente nel I Quadrante. Scomponendo
2c^2 + 2c - c - 1 >= 0
2c (c+1) - (c + 1) >= 0
(c + 1)(2c - 1) >= 0
il primo fattore é sempre positivo
2c - 1 >= 0
c >= 1/2
t <= 60° é l'intervallo di crescenza per l'area
x* = 60°/2 = 30°
Si può agevolmente controllare che il massimo trovato é assoluto
verificando i valori agli estremi.
S_max = 4 sin 60° ( 1 + cos 60° ) = 4 rad(3)/2 * 3/2 = 3 rad(3