[Risolto] Problema sulla parabola

Ciao

equazione da trovare: y = a·x^2 + b·x + c

Sappiamo che nel punto T(-1,-1) abbiamo tangente y=x

Con le formule di sdoppiamento in T(1,-1) possiamo scrivere:

(y - 1)/2 = a·(-1)·x + b·(x - 1)/2 + c

quindi risolvendo rispetto ad y: y = x·(b - 2·a) - b + 2·c + 1

Per confronto fra le relazioni in grassetto si ha:

{b - 2·a = 1

{-b + 2·c + 1 = 0

che portano a soluzione: 

{b = 2·a + 1

{b = 2·c + 1

Quindi:

2·a + 1 = 2·c + 1-----> a = c e b = 2·c + 1

Mettiamo quindi a sistema l'equazione della parabola nel parametro c con la seconda retta tangente ad essa:

{y = c·x^2 + (2·c + 1)·x + c

{y = 7·x + 9

Quindi otteniamo:

c·x^2 + (2·c + 1)·x + c - 7·x - 9 = 0

c·x^2 + x·(2·c - 6) + c - 9 = 0

condizione di tangenza:

Δ/4 = 0----> (c - 3)^2 - c·(c - 9) = 0----> 3·c + 9 = 0---> c = -3

b = 2·(-3) + 1---> b = -5

Parabola: y = - 3·x^2 - 5·x - 3

 

"parabole con asse parallelo all'asse y" con vertice V(w, h)
* Γ ≡ (y = h + a*(x - w)^2) & (a != 0)
---------------
"tangenti alla bisettrice dei quadranti dispari"
* (y = x) & (y = h + a*(x - w)^2) & (a != 0) ≡
≡ (x^2 - (1/a + 2*w)*x + (h/a + w^2) = 0) & (y = x) & (a != 0) ≡
≡ ((x - (1/(2*a) + w))^2 + (4*(h - w)*a - 1)/(4*a^2) = 0) & (y = x) & (a != 0) ≡
≡ ((x - (1/(2*a) + w))^2 = (1 - 4*(h - w)*a)/(4*a^2)) & (y = x) & (a != 0)
Dove, per la tangenza, si deve avere
* ((1 - 4*(h - w)*a)/(4*a^2) = 0) & (a != 0) ≡ h = 1/(4*a) + w
da cui
* Γ ≡ (y = 1/(4*a) + w + a*(x - w)^2) & (a != 0)
---------------
"nel punto T(- 1, - 1)"
dal vincolo di passaggio
* (- 1 = 1/(4*a) + w + a*(- 1 - w)^2) & (a != 0) ≡ w = - (2*a + 1)/(2*a)
si ha
* Γ ≡ y = 1/(4*a) - (2*a + 1)/(2*a) + a*(x + (2*a + 1)/(2*a))^2 ≡
≡ y = a*x^2 + (2*a + 1)*x + a
---------------
"tangente alla y = 7*x + 9"
Il sistema
* (y = 7*x + 9) & (y = a*x^2 + (2*a + 1)*x + a)
ha risolvente
* a*x^2 + (2*a + 1)*x + a - (7*x + 9) = 0 ≡
≡ a*x^2 + 2*(a - 3)*x + (a - 9) = 0
con discriminante che, per la tangenza, si deve azzerare
* Δ(a) = 12*(a + 3) = 0 ≡ a = - 3
da cui infine
* Γ ≡ y = - 3*x^2 - 5*x - 3
che è proprio il risultato atteso.
Inoltre
* w = - (2*(- 3) + 1)/(2*(- 3)) = - 5/6
* h = 1/(4*(- 3)) + (- 5/6) = - 11/12
* V(- 5/6, - 11/12)
* Γ ≡ y = - 11/12 - 3*(x + 5/6)^2