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[Risolto] Problema parabola tangente alle rette

  

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Determinare l'equazione della parabola passante per P(1,2) e tangente alle rette di equazioni y=0 e y=-x-3/2.

[y=1/2x^2+x+1/2]

Autore

Io ho impostato un sistema di 3 equazioni in cui le incognite sono a,b e c.

a+b+c = 2 (passaggio per il punto)

9/4a-3/2b+c = 0 (passaggio per il punto di tangenza dato dall'intersezione tra le due rette)

b^2-4ac = 0 (condizione di tangenza)

 

Non ottengo il risultato ottenuto. Non capisco perchè.

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1 Risposta
2

Così come la chiedi tu «l'equazione della parabola» NON ESISTE, AL SINGOLARE: di parabole tangenti a quelle due rette e che passano per quel punto ce ne sono a bizzeffe (infinite, con due gradi di libertà).
La generica parabola su cui nulla sia specificato ha un'equazione con cinque parametri
* Γ ≡ (A*x + B*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
Con tre condizioni si determina la sola parte lineare e restano liberi i valori (A, B) il cui rapporto determina la pendenza dell'asse di simmetria.
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Il passaggio per P(1, 2) impone il vincolo
* (A*1 + B*2)^2 + a*1 + b*2 + c = 0
da cui
* c = - ((A + 2*B)^2 + a + 2*b)
* Γ ≡ (A*x + B*y)^2 + a*x + b*y - ((A + 2*B)^2 + a + 2*b) = 0
------------------------------
La tangenza con una retta impone l'azzeramento del discriminante dell'equazione risolvente del sistema retta-parabola.
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Sistema: (y = 0) & ((A*x + B*y)^2 + a*x + b*y - ((A + 2*B)^2 + a + 2*b) = 0)
Risolvente: (A*x + B*0)^2 + a*x + b*0 - ((A + 2*B)^2 + a + 2*b) = 0
Discriminante: Δ1 = a^2 + 4*(a + ((A + 2*B)^2 + 2*b))*A^2
---------------
Sistema: (y = - (x + 3/2)) & ((A*x + B*y)^2 + a*x + b*y - ((A + 2*B)^2 + a + 2*b) = 0)
Risolvente: (A*x + B*(- (x + 3/2)))^2 + a*x + b*(- (x + 3/2)) - ((A + 2*B)^2 + a + 2*b) = 0
Discriminante: Δ2 = a^2 + 2*a*(2*A^2 + 5*B^2 - 7*A*B - b) + 4*A^4 + 8*B*A^3 + 2*(7*b - 6*B^2)*A^2 - 2*(11*b*B + 8*B^3)*A + (b + 4*B^2)^2
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Dal sistema (Δ1 = 0) & (Δ2 = 0) si ricavano (a, b) in funzione di (A, B).
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LE COSE SAREBBERO STATE ASSAI PIU' SEMPLICI SE TU AVESSI SPECIFICATO L'ORIENTAMENTO DELL'ASSE DI SIMMETRIA.
Ad esempio, guardando il risultato atteso, con asse di simmetria parallelo all'asse y [B = 0].
In tal caso si sarebbe potuto scrivere la generica equazione con tre parametri invece di cinque
* Γ ≡ y = a*(x - w)^2 + h
e ridotto i calcoli.
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* passaggio per P(1, 2): 2 = a*(1 - w)^2 + h ≡ h = 2 - a*(1 - w)^2
* Γ ≡ y = a*(x - w)^2 + 2 - a*(1 - w)^2
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Sistema: (y = 0) & (y = a*(x - w)^2 + 2 - a*(1 - w)^2)
Risolvente: a*(x - w)^2 + 2 - a*(1 - w)^2 = 0
Discriminante: Δ1 = 4*a*(a*w^2 - 2*a*w + a - 2)
---------------
Sistema: (y = - (x + 3/2)) & (y = a*(x - w)^2 + 2 - a*(1 - w)^2)
Risolvente: a*(x - w)^2 + 2 - a*(1 - w)^2 + (x + 3/2) = 0
Discriminante: Δ2 = 4*a^2*w^2 - 8*a^2*w + 4*a^2 - 4*a*w - 14*a + 1
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* (Δ1 = 0) & (Δ2 = 0) & (a != 0) ≡
≡ (4*a*(a*w^2 - 2*a*w + a - 2) = 0) & (4*a^2*w^2 - 8*a^2*w + 4*a^2 - 4*a*w - 14*a + 1 = 0) & (a != 0) ≡
≡ (a = 1/50) & (w = 11) & (h = 0) oppure (a = 1/2) & (w = - 1) & (h = 0)
---------------
* Γ1 ≡ y = (x - 11)^2/50
* Γ2 ≡ y = (x + 1)^2/2
Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D0%2Cy%3D-%28x%2B3%2F2%29%2Cy%3D%28x-11%29%5E2%2F50%2Cy%3D%28x%2B1%29%5E2%2F2%5Dx%3D-99to99
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D0%2Cy%3D-%28x%2B3%2F2%29%2Cy%3D%28x-11%29%5E2%2F50%2Cy%3D%28x%2B1%29%5E2%2F2%5Dx%3D-9to19

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